'방정식' 태그의 글 목록

중1 수학 목차
311

2025.07.04
공통수학 1, 2 목차
4

2025.02.26
방정식 잘 푸는 방법 - 식의 변화를 이해하라.
8

2016.04.02
지수방정식, 지수방정식의 풀이
12

2014.04.06
2014년 고1 수학 목차 - 수1, 수2
103

2014.01.23
삼각방정식, 삼각방정식 푸는 방법
11

2013.12.29
연립부등식의 영역, 연립부등식의 영역 구하기
22

2013.09.12
부정방정식이란, 부정방정식의 풀이
37

2013.05.04
방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정, 불능
14

2013.04.03
여러가지 유리식의 풀이
14

2013.03.29
항등식과 항등식의 성질
15

2013.03.16
고1 수학 목차, 공통수학 목차
92

2013.02.17
일차방정식의 풀이, 일차방정식의 뜻, 이항
92

2012.12.18
등식의 성질, 등식의 성질을 이용한 일차방정식의 풀이
25

2012.12.17
방정식과 항등식, 등식의 뜻
37

2012.12.16

중학교 1학년 수학 목차입니다. 각 게시글 하단의 목차보다 여기 있는 목차를 이용해주세요.

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중2 수학 목차
중3 수학 목차

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공통수학 1

공통수학 2

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보통 한 단원을 공부할 때는 앞에서 공부하지 않았던 새로운 내용을 공부해요. 그런데 그게 완전히 생뚱맞게 새로운 내용은 아니에요. 앞에서 공부했던 것에 조금 추가하는 거지요. 그런데 많은 학생은 그 연관관계를 이해는 걸 상당히 어려워하죠.

이 글에서는 방정식이라는 식이 어떻게 바뀌는지 알아볼 거예요. 그러면 그 식의 관계에 대해서 더 잘 이해할 수 있고, 문제를 풀거나 내용을 이해하는 데 훨씬 더 도움이 되지요. 아주 중요한 내용입니다. 꼭 읽어보세요.

방정식의 변화

공부하는 식의 종류에는 여러 가지가 있어요. 방정식, 부등식, 함수 등이 있죠.

방정식을 어떤 순서로 공부했나요? 중학교 1학년 때는 일차방정식, 2학년 때는 연립방정식, 3학년 때는 이차방정식, 고등학교 1학년 때는 삼차, 사차 등의 고차방정식과 연립이차방정식을 공부해요.

학년이 올라갈수록 차수가 늘어나거나 식의 개수가 늘어나죠. 그래서 문제를 푸는 방법도 어려워져요. 그런데 이게 단순히 똑같은 범주의 방정식인 건만은 아니에요.

일차방정식을 하나 풀어보죠.

5 + 3x = x + 7
3x - x = 7 - 5
2x = 2
x = 1

등식의 성질을 이용해서 일차방정식을 풀었어요.

이번에는 연립방정식을 풀어보죠.

위의 식을 ①식, 아래 식을 ②식이라고 하면,

①식 + ②식
2x = 8
x = 4

①식 - ②식
2y = 2
y = 1

두 식을 더했더니 2x = 8이라는 식이 나왔죠? 이 식은 이 식은 미지수가 x뿐인 일차방정식이에요. 미지수가 2개인 연립방정식의 두 식을 더했더니 미지수가 1개인 일차방정식으로 식이 바뀌었어요.

두 식을 빼면 2y = 2라는 y에 대한 일차방정식이 나와요. 마찬가지로 미지수가 2개인 연립방정식이 미지수가 1개인 일차방정식으로 바뀌었죠.

두 식을 더하거나 빼서 연립방정식을 일차방정식으로 바꾸는 게 연립방정식 풀이의 핵심이에요.

연립방정식 = 일차방정식 + 일차방정식

이차방정식도 풀어보죠.

x² - 5x + 6 = 0
(x - 2)(x - 3) = 0

x - 2 = 0 → x = 2
x - 3 = 0 → x = 3

x² - 5x + 6 = 0를 인수분해하면 (x - 2)(x - 3) = 0인데, 좌변이 일차식 두 개의 곱으로 되어 있어요. 이 일차식은 일차방정식이고, 여기서 미지수 x의 값을 구했어요.

이차방정식을 인수분해하니까 일차방정식 2개 되었죠? 차수가 2차에서 1차로 낮아졌어요.

인수분해해서 이차방정식을 일차방정식으로 바꾸는 게 이차방정식 문제 푸는 방법이죠. 근의 공식을 이용하는 건 제외로 하고요.

이차방정식 = 일차방정식 + 일차방정식

고차방정식과 연립이차방정식은 예시는 생략하죠. 삼차, 사차의 고차방정식도 인수분해를 하죠? 그러면 삼차방정식이 이차방정식이 되고, 이 이차방정식은 다시 바로 위에서 했던 것처럼 인수분해해서 일차방정식 2개로 바꾸는 거죠. 결국, 삼차방정식은 일차방정식 3개로 바꿔서 풀어요.

삼차방정식 = 일차방정식 + 이차방정식 = 일차방정식 + 일차방정식 + 일차방정식

일차방정식은 그대로 풀고요.
연립방정식은 식을 더하고 빼서 일차방정식으로 모양을 바꿔서 풀어요.
이차방정식은 인수분해를 해서 일차방정식으로 모양을 바꿔서 풀어요.
삼차방정식은 인수분해해서 이차방정식으로 모양을 바꾸고, 이 이차방정식은 인수분해를 한 번 더 해서 일차방정식으로 모양을 바꿔서 풀어요.
사차, 오차도 계속 이런 식으로 풀죠.

우리가 문제를 푸는 건 그냥 이차방정식을 풀고, 연립방정식을 푸는 게 아니라 식의 형태를 우리가 기존에 알고 있는 식(일차방정식)으로 바꾸는 거예요.

연립방정식에서 두 식을 더하고 빼는 건 일차방정식으로 바꾸기 위해서예요. 이차방정식에서 인수분해를 하는 이유는 바로 인수분해를 해야 일차방정식으로 모양을 바꿀 수 있기 때문이죠. 인수분해를 왜 해야 하는지, 연립방정식의 두 식을 왜 더하고 빼야 하는지 이유를 알겠죠?

즉, 그 단원에서 실제로 공부하는 건 일차방정식으로 바꾸는 방법뿐이에요. 그 이후 과정인 일차방정식을 푸는 건 이미 알고 있는 거고요.

그러니까 방정식을 푸는 건 기본적으로 일차방정식의 풀이법 + 일차방정식으로 변환법이에요.

이곳 수학방에서 공부를 했던 분이라면 글 중간마다 차수가 낮아지고 미지수가 줄어드는 걸 설명한 부분이 꽤 많다는 걸 아실 거예요. 바로 일차방정식으로의 변환법을 다른 말로 하면 미지수의 개수와 식의 차수를 낮추는 방법이거든요.

일차방정식 따로 이차방정식 따로 있는게 아니라 그들의 관계를 이해하고 식이 어떻게 바뀌는지 이해하면 공부하는게 훨씬 더 쉬워질 거예요.

물론 이건 방정식에만 적용되는 건 아닙니다. 함수에도 다른 식에도 적용되는 거에요.

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지수와 지수법칙, 지수함수에 이어 지수방정식이에요. 방정식은 이제까지 정말 많이 다뤘던 거니까 생소하지는 않죠?

지수방정식은 다른 방정식에 비해서 조금 더 쉽다고 할 수 있어요. 식 자체가 고차방정식보다 단순하거든요. 그리고 이차방정식, 고차방정식은 여러 가지를 공부했는데 지수방정식은 이 글 하나만 하면 끝나니까 양도 적지요.

지수의 조건과 방정식의 풀이라는 두 가지를 잘 조합하면 의외로 쉽게 풀 수 있는 단원이니까 천천히 한 번 읽어보세요.

지수방정식

방정식은 미지수가 있어서 미지수에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식이에요. 그러니까 지수방정식은 이름 그대로 지수에 미지수가 있어서 미지수에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식을 말하죠.

지수에 미지수가 있으면 지수방정식, 지수가 아닌 밑에 미지수가 있으면 지수방정식이 아니에요. 2^x = 4는 지수에 미지수가 있으니까 지수방정식이고 x² = 4는 밑에 미지수가 있는 이차방정식이에요. 둘을 잘 구별하세요.

지수함수, 지수함수의 그래프 y = a^x에서 밑 a가 모든 실수는 아니었죠? a > 0이고 a ≠ 1이었어요. 지수방정식에서도 밑은 양수이고 1이 아니에요.

지수방정식의 풀이

3^x = 9를 어떻게 풀까요?

간단히 하면 3^x = 9 = 3²니까 x = 2라는 답을 구할 수 있어요.

두 수가 같을 때, 밑이 같으면 지수도 같아야 하죠. 반대로 생각하면 두 수가 같을 때, 지수가 같다면 밑이 같아야 같아야 하고요.

이 두 가지가 기본적인 풀이법이에요.

a^f(x) = a^g(x) → f(x) = g(x)
a^f(x) = b^f(x) → a = b

첫 번째에서 만약에 a = 1이라면 어떻게 되나요? f(x) ≠ g(x)여도 1^f(x) = 1^g(x) = 1이에요. 사실 이런 경우는 거의 없어서 별로 신경 쓰지 않아도 되지만 혹시 밑에도 미지수가 있다면 a = 1인지 아닌지 확인해봐야 해요.

두 번째에서 f(x) = 0이라면 어떻게 될까요? (양수)⁰ = 1이에요. a ≠ b여도 a^f(x) = b^f(x) = 1이 되지요. 따라서 f(x) = 0인지 아닌지도 확인해야 해요.

정리해보죠.

지수방정식: 지수에 미지수를 포함하고 있는 방정식
밑이 같을 때: a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x) (단, a > 0, a ≠ 1)
지수가 같을 때: a^f(x) = b^f(x) ⇔ a = b or f(x) = 0 (단, a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

다음 지수방정식을 풀어라.
(1) 2^{x + 1} = 4³
(2)
(3)
(4) (x - 1)^{x + 2} = 5^{x + 2}

양변이 같을 때, 밑이 같으면 지수가 같고, 지수가 같으면 밑이 같아요. 그리고 지수가 0으로 같은지도 확인해야 하고요.

(1) 밑이 같게 식을 바꿔보죠.

2^{x + 1} = 4³
2^{x + 1} = (2²)³
2^{x + 1} = 2⁶

밑이 2로 같아요. 그러니까 지수가 같아야 하죠.

x + 1 = 6
x = 5

밑이 로 같으니까 지수를 비교해보죠.

2x + 4 = -2
x = -3

밑이 5로 같으니까 지수를 비교해보죠.

(4) 밑이 다르고 지수가 같아요. 이때는 지수가 0으로 같을 때와 밑이 같을 때로 나눠서 봐야 하죠.

ⅰ) 지수가 0일 때

x + 2 = 0
x = -2

ⅱ) 지수가 0이 아니고 밑이 같을 때

x - 1 = 5
x = 6

x = -2 or 6

이제까지는 항이 2개일 때를 봤어요. 항이 3개일 때도 있는데 풀이법이 달라요. 항이 3개면 치환을 이용해서 풀어요.

식에서 a^x = t로 치환하고 t에 대한 방정식을 푸는 거죠. 단 a > 0이고 a ≠ 1이니까 a^x > 0이라서 t > 0이에요.

지수방정식의 풀이법 2
a^x = t로 치환 (t > 0). (a > 0, a ≠ 1)

4^x + 2^{x + 2} - 16 = 16의 해를 구하여라.

항이 3개 이상인데 상수항을 계산하면 항이 3개예요. 치환할 수 있게 정리해보죠.

4^x + 2^{x + 2} - 16 = 16
(2²)^x + 2² × 2^x - 32 = 0
(2^x)² + 4 × 2^x - 32 = 0

여기서 2^x = t로 치환해보죠.

t² + 4t - 32 = 0
(t - 4)(t + 8) = 0
t = 4 or -8

2^x = 4 or -8

2^x = 4
2^x = 2²
x = 2

2^x = -8
2^x > 0이므로 2^x = -8이 될 수 없다.

따라서 해는 x = 2

정리해볼까요

지수방정식: 지수에 미지수를 포함하고 있는 방정식

지수방정식의 풀이

밑이 같을 때: a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x) (단, a > 0, a ≠ 1)
지수가 같을 때: a^f(x) = b^f(x) ⇔ a = b or f(x) = 0 (단, a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)
항이 3개 일 때: a^x = t로 치환 (t > 0). (a > 0, a ≠ 1)

지수의 확장 - 실수

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지수부등식

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고등학교 교육과정이 자주 바뀌어 학년별 목차보다 단원별 목차가 더 효율적이라 판단되어 목록을 일부 수정합니다.

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수학Ⅰ

수학Ⅱ

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삼각방정식이에요. 삼각방정식은 삼각함수 + 방정식이에요. 삼각함수보다 어렵긴 하지만 그래도 이차, 삼차방정식보다는 조금 더 쉬운 단원입니다. 삼각방정식 푸는 법 자체가 어렵지도 않을뿐더러 문제도 비교적 쉽게 나오는 편이거든요.

또 풀이 방법도 여러 가지여서 가장 쉽고 편한 방법을 골라서 문제를 풀 수도 있으니 금상첨화죠. 그래프를 그릴 수 있으면 훨씬 더 쉽게 풀 수 있어요.

별로 어려운 내용은 아니니까 쭉 한 번 훑어보세요.

삼각방정식

삼각방정식은 삼각함수의 각 또는 각을 나타내는 식 중에 미지수를 포함하는 방정식을 말해요. 그냥 쉽게 삼각함수의 각에 미지수 x가 있는 방정식이라고 생각하세요.

삼각함수의 각 자리에 x가 있으니까 위와 같은 식이 삼각방정식이에요.

삼각함수는 주기함수라서 똑같은 값을 가지는 경우가 많아요. 그래서 보통은 범위를 한 번의 주기로 제한합니다. 0 ≤ x < 2π

의 해를 구하여라. (0 ≤ x < 2π)

삼각방정식을 푸는 방법은 여러 가지가 있는데 하나씩 알아보죠.

그래프의 교점을 이용하는 방법

를 y = sinx와 라는 두 개 식으로 나누어 각각의 그래프를 그리면 그 교점의 x좌표가 해에요.

삼각방정식 푸는 법 1 - 그래프의 교점 이용

y = sinx의 그래프와 의 그래프를 그리면 두 점에서 만나요. 해가 두 개라는 걸 알 수 있어요.

교점의 x좌표는 , 에요. 따라서 의 해는 x = 또는 x = 에요.

단위원을 이용하는 방법

삼각함수 그래프 그리는 법에서 단위원 위에서 동경의 위치를 바꿔가면서 그래프를 그렸었죠? 그걸 이용하는 거예요.

단위원 위에서 을 지나는 점의 동경이 바로 삼각방정식의 해에요.

삼각방정식 푸는 법 2 - 단위원 이용

점 P와 점 Q에서 만나네요. 이때 동경 가 나타내는 크기가 삼각방정식의 해니까 x = 또는 x = 에요.

직각삼각형을 이용하는 방법

[중등수학/중3 수학] - 특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비에서 각도에 따른 직각삼각형 각 변의 길이의 비를 외우고 있죠? 1 : 1 : , 1 : : 2인 직각삼각형의 길이의 비요. 이걸 이용하는 방법이에요.

삼각함수 값의 부호의 올 - 싸 - 탄 - 코에 따르면 sinx > 0이려면 제 1, 2 사분면위의 각이어야 해요. 제 1, 2 사분면 위에 x축을 밑변으로 하고 빗변과 높이의 비가 2 : 1인 직각삼각형을 그리세요.

삼각방정식 푸는 법 3 - 직각삼각형 이용

삼각형을 그렸더니 우리가 외우고 있던 직각삼각형이 됐죠? 제 1 사분면의 x는 ∠POH로 육십분법으로 하면 30°, 호도법으로 하면 에요. 제 2 사분면의 x는 ∠HOQ = π - ∠QOH' = π - = 에요.

따라서 x = 또는 x = 이네요.

방법은 다르지만 구한 결과는 같으니까 가장 쉽다고 생각되는 방법을 이용해서 풀 수 있게 연습하세요.

정리해볼까요

삼각방정식

삼각함수의 각 또는 각을 나타내는 식에 미지수 x가 포함된 방정식
풀이법
- 그래프의 교점을 이용
- 단위원 이용
- 직각삼각형 이용

삼각함수를 포함한 식의 최댓값과 최솟값

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삼각부등식

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연립부등식의 영역은 부등식의 영역 두 개를 합쳐놓은 걸 말해요. 부등식을 두 개 이상 합쳐놓은 게 연립부등식이니까요.

연립부등식을 푸는 방법과 연립부등식의 영역을 구하는 방법은 근본적으로 같아요. 연립부등식에서는 수직선에 그렸다면 연립부등식의 영역에서는 좌표평면에 그림을 그린다는 차이가 있을 뿐이에요.

그래프를 그려야 해서 복잡해 보이지만 (연립부등식의 영역) = (부등식의 영역) + (연립부등식) 이라는 사실만 기억하고, 관련된 두 내용만 잘 기억하고 있다면 크게 어렵지는 않을 거예요.

연립부등식의 영역

연립부등식의 풀이에서는 각각의 부등식의 해를 구하고 이를 수직선에 그려서 공통인 부분의 해를 찾았어요. 연립부등식의 영역도 똑같아요. 각각의 부등식의 영역을 그린 다음 공통인 부분을 구하면 됩니다.

f(x, y) = 0은 원의 방정식, g(x, y) = 0은 직선의 방정식이라고 한다면, f(x, y) < 0, g(x, y) > 0의 그래프는 아래와 같아요.

연립부등식의 영역

f(x, y) < 0, g(x, y) > 0의 공통부분을 칠한 오른쪽 그림이라는 연립부등식의 영역이 됩니다.

식과 부등호의 방향은 바뀌겠지만, 그 방법은 모두 같아요.

연립부등식의 영역
각각의 부등식의 영역을 그린다.
두 부등식의 영역의 공통부분(교집합)을 구한다.

곱으로 표시된 연립부등식의 영역

이번에는 연립부등식이 조금 다른 형태인데요.

f(x, y)·g(x, y) < 0이라는 부등식이에요.

두 식을 곱해서 0보다 작다는 얘기는 부호가 서로 반대라는 얘기예요. 하나가 양수이면 다른 하나는 음수여야 하죠.

총 네 개의 부등식의 영역 그러니까 두 개의 연립부등식의 영역이 생겼어요. or이니까 연립부등식의 영역 두 개를 합한 거예요.

좀 복잡하지만, 집합으로 나타내보면 다음과 같아요.
[{f(x, y) > 0} ∩ {g(x, y) < 0}] ∪ [{f(x, y) > 0} ∩ {g(x, y) < 0}]

곱으로 표시된 연립부등식의 영역

이번에는 f(x, y)·g(x, y) > 0을 보죠.

어떤 두 식을 곱해서 0보다 크다는 말은 두 식이 모두 양수이거나 모두 음수여야 하죠?

역시 마찬가지로 네 개의 부등식의 영역, 두 개의 연립부등식이 생겼어요. or이니까 역시 각각의 연립부등식의 영역을 구한 다음 서로 합쳐야 하죠.

부등식의 영역을 네 개가 구해야 하고, 어떤 건 교집합, 어떤 건 합집합이어서 상당히 복잡하죠? 쉽게 구하는 방법이 있어요.

곱으로 표시된 연립부등식의 영역 구하는 순서

f(x, y) = 0, g(x, y) = 0의 도형의 방정식을 그린다.
경계선 위에 있지 않은 임의의 점을 처음 부등식에 대입한다. 계산이 편리한 (0, 0), (1, 0) 등
조건에 맞는 영역을 칠한다.
- 대입한 점이 부등식을 만족하면 그 점이 속한 영역 및 건너뛴(이웃하지 않은) 영역
- 대입한 점이 부등식을 만족하지 않으면 그 점이 속하지 않은 영역 및 건너뛴(이웃하지 않은) 영역

다음 부등식의 영역을 좌표평면 위에 나타내어라.
(1)
(2) (x + y - 1)(x² + y² - 4) < 0

x² + y² < 4의 영역은 왼쪽 그림이고 x + y - 1< 0의 영역은 가운데, 이 둘의 공통부분이 오른쪽 그림이에요.

연립부등식의 영역 예제 1 풀이

(2) 번. (x + y - 1)(x² + y² - 4) < 0

두 개의 연립부등식의 영역으로 나눠서 구해도 되고, 점을 대입해서 영역을 구해도 돼요. x + y - 1 = 0과 x² + y² - 4 = 0의 그래프를 좌표평면에 그렸더니 네 개의 영역으로 나뉘어졌어요.

연립부등식의 영역 예제 1 풀이 1

(0, 0)은 경계선 위에 있지 않으므로 점을 대입해보면
(0 + 0 - 1)(0² + 0² - 4) < 0
4 < 0

부등식을 만족하지 않으므로 (0, 0)이 포함되어 있지 않은 ①번 영역과 ① 영역의 건너뛴(이웃하지 않은) ③ 영역이 구하는 영역이 되겠네요.

연립부등식의 영역 예제 1 풀이 2

정리해볼까요

연립부등식의 영역

각각의 부등식을 영역을 구한 다음 그 공통부분
곱으로 표시된 연립부등식의 영역
도형의 방정식을 그린 다음 임의의 점을 부등식에 대입
- 부등식을 만족하면 해당 영역 및 이웃하지 않은 영역
- 부등식을 만족하지 않으면 점이 속하지 않은 영역 및 이웃하지 않는 영역

부등식의 영역 2 - f(x, y) > 0, f(x, y) < 0

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부등식의 영역의 최대, 최소

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우리가 지금까지 공부했던 방정식에서는 미지수의 개수와 식의 개수가 같았어요. 차수와 상관없이 미지수가 x 하나이면 식은 한 개만 있어도 됐어요. 연립방정식에서 미지수가 x, y 두 개면 식은 두 개, 미지수가 x, y, z 세 개였다면 식은 세 개였고요. 식이 더 많은 건 상관없어요. 식을 골라서 사용하면 되니까요.

그런데 이글에서 공부할 부정방정식은 미지수의 개수가 식의 개수보다 많아요. 미지수는 x, y 두 개인데, 식은 한 개밖에 없지요. 이처럼 미지수의 개수가 식의 개수보다 많은 부정방정식을 어떻게 풀어야하는지 알아보죠.

부정방정식

부정방정식은 미지수의 개수보다 식의 개수가 적어 근이 무수히 많아 근을 정할 수 없는 방정식을 말해요. 방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정과 불능에서 부정은 근이 무수히 많을 때라고 했어요.

해가 무수히 많으면 딱 찍어서 '이게 해입니다.' 할 수 없잖아요. 부정방정식의 부정은 '아니다'는 뜻의 부정(不正)이 아니라 '일정하지 않다'는 뜻의 부정(不定)이라는 거 잊지 마세요.

따라서 부정방정식의 해를 딱 정해서 얘기하려면 식이 아닌 다른 조건이 더 주어져야 하는데 그게 바로 근의 종류예요. 근이 실수인지 정수인지 알려주는 거죠.

부정방정식
(식의 개수) < (미지수의 개수)
근에 대한 자연수, 정수, 실수 조건

정수 조건이 주어진 부정방정식

방정식이 주어지고, 해가 정수라는 조건이 있다면 그 방정식을 (일차식) × (일차식) = (정수) 꼴로 바꿔서 풀어요. 어떤 두 수를 곱해서 정수가 되는 경우를 순서쌍으로 나타내고 각 일차식이 순서쌍의 숫자에 해당할 때 미지수의 값을 구하는 거죠.

곱의 형태로 바꿀 때는 대부분 인수분해를 이용하면 돼요. 하지만 때에 따라서는 주어진 식을 그대로 이용하면 안 되고, 숫자를 더하거나 빼서 변형해야 하는 경우도 있어요. 인수분해가 바로 되지 않을 때는 이런 것도 고려하세요.

정수 조건이 주어진 부정방정식
(일차식) × (일차식) = (정수)로 변형
순서쌍을 만들어 미지수의 값을 구함

다음 식을 만족하는 정수 x, y를 구하여라.
(1) xy = 1
(2) xy + x + y + 1 = 2
(3) xy + x + y = 1

(1)은 이미 곱의 형태로 되어 있네요. 어떤 두 수를 곱해서 1이 되는 순서쌍은 (1, 1), (-1, -1)이에요. 따라서 해는 x = 1, y = 1 or x = -1, y = -1이에요.

(2)번은 곱의 꼴로 바꿔야 해요. 인수분해를 해보죠.
xy + x + y + 1 = 2
x(y + 1) + y + 1 = 2
(x + 1)(y + 1) = 2

순서쌍을 구해보면 아래 표처럼 나타낼 수 있어요.

x + 1	1	-1	2	-2
y + 1	2	-2	1	-1

x + 1 = 1일 때, y + 1 = 2이므로 x = 0, y = 1이에요.

이런 식으로 구해보면 (0, 1), (-2, -3), (1, 0), (-3, -2)가 해입니다.

(3)은 좌변이 인수분해가 되지 않아요. 그래서 인수분해가 되도록 숫자를 더해주거나 빼줘야 하죠.

xy + x + y = 1
x(y + 1) + y = 1
x(y + 1) + y + 1 = 2 (∵ 양변 + 1)
(x + 1)(y + 1) = 2

(2)번과 똑같죠? 여기서는 숫자를 더해주고 빼주고 하는 게 중요해요. 하나 더 해보죠.

xy - 3x + y - 10 = 0
x(y - 3) + y - 10 = 0
x(y - 3) + (y - 3) - 7 = 0 (∵ -10 = -3 - 7)
(x + 1)(y - 3) = 7

이렇게 바꾸는 연습을 좀 많이 하세요.

실수 조건이 주어진 부정방정식

실수 조건이 주어진 경우에는 단순 곱으로는 해결이 안 되요. xy = 1을 만족하는 실수는 너무 많아요. 그래서 단순히 곱이 아닌 제곱의 합으로 나타내야 해요.

실수 조건이 주어진 부정방정식
a² + b² = 0의 꼴로 변형
a = 0, b = 0을 만족하는 미지수 구하기

실수는 제곱하면 무조건 0보다 크거나 같아요. 순허수는 제곱하면 0보다 작죠. 이걸 이용하는 거예요. 어떤 실수를 제곱해서 더했더니 0이 되었다는 말은 두 실수가 모두 0이라는 거예요. 0보다 크거나 같은 두 수를 더해서 0이 되려면 둘 다 0일 때 빼고는 없으니까요.

a, b는 숫자일 수도 있고, 완전제곱식일 수도 있어요.

a² + b² = 0 ⇔ a = 0 and b = 0

다음 식을 만족하는 실수 x, y를 구하여라.
(1) (x - 2)² + y² = 0
(2) x² + 5y² - 4xy - 2y + 1 = 0

실수 조건이 주어진 부정방정식은 문제를 완전제곱식 또는 숫자의 제곱의 합으로 바꿔서 풀어야 해요.

(1) 이미 완전제곱식의 합꼴로 되어 있네요.
x - 2 = 0이므로 x = 2
y = 0

(2)번은 식이 조금 복잡한데요. x에 대해서 내림차순으로 정리해보죠.
x² + 5y² - 4xy - 2y + 1 = 0
x² - 4xy + 5y² - 2y + 1 = 0
x² - 4xy + 4y² + y² - 2y + 1 = 0 (∵ 5y² = 4y² + y²)
(x - 2y)² + (y - 1)² = 0

x - 2y = 0, y - 1 = 0에서 x = 2, y = 1

여기서는 5y² = 4y² + y²으로 나누는 게 중요하네요.

다음 식을 만족하는 정수 x, y를 구하여라.
x² - 2x + y² - 4y + 5 = 10

좌변을 정리해보죠.
x² - 2x + y² - 4y + 5 = 10
x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 = 10 (∵ 5 = 1 + 4)
(x - 1)² + (y - 2)² = 10

일단 5 = 1 + 4로 나누어 완전제곱식의 상수로 이용했어요.

그런데, 좌변은 완전제곱식의 합이 되었는데 우변이 0이 아니에요. 우변 = 0이어야 (완전제곱식) = 0으로 해를 구할 수 있잖아요.

문제에서 x, y가 정수라고 했어요. (정수)²은 자연수죠? 어떤 두 자연수를 더해서 10이 되어야하는데, 이 두 자연수는 제곱인 수예요. 따라서 이 두 자연수는 1, 9일 수밖에 없어요.

(x - 1)² = 1, (y - 2)² = 9 or (x - 1)² = 9, (y - 2)² = 1이에요.

x - 1 = ±1, y - 2 = ±3 or x - 1 = ±3, y - 2 = ±1

x - 1	1	1	-1	-1	3	3	-3	-3
y - 2	3	-3	3	-3	1	-1	1	-1

x - 1 = 1 일 때, y - 2 = 3이므로 x = 2, y = 5

이렇게 다 풀어보면 (2, 5), (2, -1), (0, 5), (0, -1), (4, 3), (4, 1), (-2, 3), (-2, 1)이 되네요.

정리해볼까요

부정방정식: 식의 개수 < 미지수의 개수, 근이 정수, 실수라는 조건이 주어짐

정수조건이 주어진 부정방정식: (일차식) × (일차식) = (정수) 꼴로 변형
→ 순서쌍을 찾아서 미지수의 값을 구함.
실수 조건이 주어진 부정방정식: a² + b² = 0의 꼴로 변형
→ a = 0, b = 0

연립이차방정식의 풀이 2

<< 수학 1 목차 >>

부등식의 성질

그리드형

이제부터는 방정식에 대해서 공부할 거예요.

방정식은 미지수가 있어서 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고, 거짓이 되기도 하는 식을 말하죠. 방정식은 미지수의 차수에 따라 일차방정식, 이차방정식으로 나눠요. 문제에서는 "일차방정식 …을 풀어라" 혹은 "이차방정식 …을 풀어라" 이런 식으로 나오는데, 가끔 그렇지 않은 경우가 있어요.

이 글에서는 차수를 알려주지 않은 그냥 방정식 ax + b = 0의 해를 구하는 방법과 부정, 불능이라는 용어에 대해서 알아볼 거예요.

방정식 ax + b = 0의 풀이

ax + b = 0에서 b를 이항하면 ax = -b가 되죠.

이때, a ≠ 0이면, x가 남게 되어서 x에 대한 일차방정식이 되고, 해는 양변을 a로 나눠서 x = 죠.

그런데, a = 0이면 어떻게 될까요? a = 0이면 미지수 x가 없어지니까 일차식은 아니에요. a = 0으로는 양변을 나눌 수 없으니까 일반적인 방법과 다르게 해를 구해야 해요. 두 가지 경우로 나눠서 생각해보죠.

a = 0이고 b = 0일 때에요. 이때는 0·x = 0이 되어서 좌변과 우변이 모두 0으로 같아요. x에 어떤 수가 들어가도 식이 성립하는 항등식이 되죠. 이 경우를 해가 너무 많아서 정의할 수 없기 때문에 부정이라고 합니다.

a = 0이고 b ≠ 0일 때는 0·x = b가 되어서 좌변은 0인데, 우변은 0이 아닌 수가 돼요. x에 어떤 수가 들어가도 성립하지 않게 되고, 해가 하나도 없어요. 이런 경우를 불능이라고 합니다.

방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정, 불능

문제에서 방정식의 차수를 알려주지 않았을 때는 x의 계수가 0인지 아닌지 확인하고, x의 계수가 0이면 상수항이 0일 때와 아닐 때 두 가지 경우를 모두 알아봐야 해요.

해가 특수한 연립방정식에서 해가 무수히 많은 경우와 해가 하나도 없는 경우를 봤는데, 그거랑 비슷하다고 생각하면 돼요.

방정식 a²x + 1 - ax - a = 0의 해를 구하여라.

문제에 일차방정식이 아니라 그냥 방정식이라고 했으니 x의 계수가 0일 수도 있고, 아닐 수도 있어요. 두 가지 경우를 모두 생각해야 합니다. 또 x의 계수가 0일 경우에는 상수항이 0인지 아닌지도 알아봐야 하고요.

a²x + 1 - ax - a = 0
a²x - ax = a - 1
(a² - a)x = a - 1
a(a - 1)x = a - 1

x의 계수 a(a - 1) ≠ 0 일 때, 즉 a ≠ 0이고 a ≠ 1일 때
a(a - 1)x = a - 1
x =
x의 계수 a(a - 1) = 0일 때, 즉 a = 0 or a = 1일 때
- a = 0이면 상수항 a - 1 ≠ 0 이므로
  0·x = -1
  해가 하나도 없다. 불능
- a = 1이면 상수항 a - 1 = 0이므로
  0·x = 0
  해가 무수히 많다. 부정

정리해볼까요

방정식 ax + b = 0의 해 → ax = -b

a ≠ 0일 때, x =
a = 0일 때
- b ≠ 0 일 때, 0·x = b → 해가 하나도 없다. 불능
- b = 0일 때, 0·x = 0 → 해가 무수히 많다. 부정

i의 거듭제곱, 음수 제곱근의 성질

<< 수학 1 목차 >>

절댓값을 포함한 일차방정식의 풀이

그리드형

유리식은 종류가 많아요. 부분분수 공식, 번분수, 가비의 리, 비례식 등이 있지요. 그 외도 여러 가지 분수식이 있는데, 여기서 다뤄볼게요.

여러 가지 유리식의 풀이에서는 그 전에 공부했던 곱셈공식, 인수분해 공식 등을 활용해야 합니다. 다 기억하고 있어야겠죠? 문제에 조건식과 답을 구해야 하는 식 두 가지가 나오는데, 조건식을 여러 공식을 이용해서 모양을 바꾸어 문제의 식에 대입해서 답을 구합니다.

모양을 바꾸는 방법은 몇 가지 유형이 있으니까 유형만 잘 알고 있으면 돼요. 문제의 유형과 풀이법을 알아보죠.

유리식의 계산

조건식이 방정식일 때

조건이 방정식일 때는 방정식의 모양을 바꿔서 분수식으로 만드는데 이때 곱셈공식이나 곱셈공식의 변형을 이용해요. 가장 많이 나오는 게 분수꼴 곱셈 공식의 변형이에요.

아래 공식을 잘 기억해두세요. 유도하는 과정은 곱셈공식의 변형에 나와 있어요.

곱셈 공식의 변형 - 분수꼴

x² + x + 1 = 0일 때 다음을 구하여라.
(1) x³
(2) x³ +

(1) 인수분해 공식 중에 a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b² ), a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)이 있어요.

x² + x + 1 = 0의 양변에 (x - 1)을 곱해보죠.
x² + x + 1 = 0
(x - 1)(x² + x + 1) = 0·(x - 1)
x³ - 1 = 0
x³ = 1

x² - x + 1 = 0이었다면 양변에 x + 1을 곱해서 같은 방법으로 풀면 돼요.

(2) 이죠? 그러니까 x² + x + 1 = 0으로 x + 의 값을 구해야 해요.

x² + x + 1 = 0
x² + 1 = -x
x + = -1 (∵ 양변 ÷ x)

좌변에 x = 0을 대입하면 식이 성립하지 않으므로 x = 0이 아니에요. 따라서 양변을 x로 나눌 수 있어요. 양변을 x로 나누면 분수꼴이 돼요.

= (-1)³ - 3(-1)
= -1 + 3
= 2

이차방정식이 조건식으로 주어졌을 때, 일차항을 이항하고 양변을 x로 나누는 방법은 자주 사용하는 방법이니까 잘 기억해두세요.

조건식이 두 문자가 있는 등식일 때

이번에도 조건식을 문제에 맞게 변형해야 해요. 조건식이 등식이면 한 문자에 대하여 정리합니다. 정리한 문자를 식에 대입해서 한 문자에 관한 식으로 바꾸면 문자는 약분돼 없어지고 숫자만 남아요.

조건식이 방정식일 때: 곱셈공식, 곱셈공식의 변형을 이용하여 방정식을 변형
조건식이 등식일 때: 한 문자에 관해 정리한 후 문제에 대입

4x = 2y일 때 을 구하여라.

4x = 2y이므로 y에 대하여 정리하면
y = 2x

y= 2x를 문제에 대입

x = 2y = 3z일 때, 을 구하여라.

x = 2y
y = x

x = 3z
z = x

y와 z에 대하여 정리했으니까 이걸 문제에 대입해보죠.

마지막에는 번분수의 성질을 이용해서 약분도 하고, 분수로 바꾼 겁니다.

정리해볼까요

여러가지 유리식의 풀이

조건식이 방정식일 때: 곱셈공식, 곱셈공식의 변형을 이용하여 방정식을 변형
조건식이 등식일 때: 한 문자에 대해 정리한 후 문제에 대입

가비의 비, 비례식

<< 고1 수학 목차 >>

무리식

그리드형

항등식은 중학교 1학년 때 방정식을 배우면서 잠깐 공부했어요. [중등수학/중1 수학] - 방정식과 항등식, 등식의 뜻. 항등식이 뭔지 알아보고, 주어진 식이 항등식인지 아닌지 판단하면 됐었죠.

고등학교에서 공부하는 항등식의 뜻은 똑같아요. 다만 이제는 하나의 식을 주면서 항등식이라는 걸 미리 알려줘요. 그 대신에 주어진 식에서 여러 가지 값을 구하는 거죠.

이런 값을 구하는 방법에서 가장 먼저 생각해야 하는 게 항등식의 성질인데, 이 글에서는 항등식의 성질을 공부할 겁니다.

항등식

등식은 등호를 이용해서 등호 양쪽이 서로 같다는 걸 나타내는 식이에요. 등식에서는 미지수를 사용하기도 하는데, 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 방정식이라고 하죠. 미지수가 있지만 미지수에 상관없이 항상 성립하는 등식을 항등식이라고 해요.

항등식을 여러 가지 다른 표현을 사용하기도 해요. 다음은 모두 다 항등식을 나타내는 표현이니까 알아두세요.

모든 x에 대하여 … 일 때
임의의 x에 대하여 … 일 때
어떠한 x에 대하여도 … 일 때
x에 관계없이 … 일 때
x에 대한 항등식 …

항등식의 성질

ax + b = 0이라는 식이 x에 관한 항등식일 때, a, b의 값을 알아보죠.

x가 어떤 값을 갖더라도 이 등식은 참이 되므로
x = 1일 때, a + b = 0
x = 2일 때, 2a + b = 0
x = 3일 때, 3a + b = 0

세 개 중에 두 개를 선택하면 연립방정식이죠? a + b = 0, 2a + b = 0에서 a = 0, b = 0이라는 값을 구할 수 있어요.

0x + 0 = 0이라는 거죠. 이건 모든 항등식의 기본 꼴이라고 할 수 있어요. 미지수의 계수도 0, 상수항 0, 우변도 0이죠.

ax² + bx + c = 0이 항등식일 때는 어떨까요? 이것도 마찬가지로 x², x, 상수항, 우변이 모두 0이면 항등식이에요. 즉, a = b = c = 0이면 항등식인 거죠.

ax + b = cx + d이 항등식일 때, a, b, c, d를 구해볼까요? 우변에 있는 항들을 모두 좌변으로 이항시켜보죠.
ax + b = cx + d
(a - c)x + b - d = 0

x의 계수 a - c = 0, 상수항 b - d = 0이면 항등식이에요. 따라서 a = c, b = d에요.

ax² + bx + c = a'x² + b'x + c'
(a - a')x² + (b - b')x + c - c' = 0
a = a', b = b', c = c' 이면 항등식이 돼요.

모든 항을 좌변으로 이항 → 동류항 정리 → 0x + 0 = 0이면 항등식
ax + b = 0이 x에 대한 항등식 ⇔ a = b = 0
ax² + bx + c = 0이 x에 대한 항등식 ⇔ a = b = c = 0

좌변과 우변에서 차수가 같은 문자의 계수끼리 서로 같으면 항등식
ax + b = cx + d가 x에 대한 항등식 ⇔ a = c, b = d
ax² + bx + c = a'x² + b'x + c가 x에 대한 항등식 ⇔ a = a', b = b', c = c'

임의의 x에 대하여 다음이 성립할 때, a, b, c의 값을 구하여라.
(1) a(x - 2)² + b(x + 3) + (c + 4) = 0
(2) a(x + 1)² + bx - c - 3 = 4x² + 2x + 4

임의의 x에 대하여 성립한다는 말은 항등식이라는 얘기죠.

(1)번은 일단 전개부터 해야겠네요. 모든 항을 좌변으로 이항했을 때, x의 계수와 상수항이 0이면 항등식이에요

a(x - 2)² + b(x + 3) + (c + 4) = 0
a(x² - 4x + 4) + bx + 3b + c + 4 = 0
ax² - 4ax + 4a + bx + 3b + c + 4 = 0
ax² + (b - 4a)x + 4a + 3b + c + 4 = 0

a = 0, b - 4a = 0, 4a + 3b + c + 4 = 0 이면 항등식이므로 a = 0, b = 0, c = -4

(2)도 전개해야 하는데, 우변에 식이 있어요. 좌변으로 모두 이항해서 x의 계수와 상수항이 0인지 확인해도 되고요. 아니면 좌변을 전개해서 우변에 있는 계수들과 같은 값을 가질 때 a, b, c를 구해도 되죠.

a(x + 1)² + bx - c - 3 = 4x² + 2x + 4
a(x + 2x + 1) + bx - c - 3 = 4x² + 2x + 4
ax² + 2ax + a + bx - c - 3 = 4x² + 2x + 4
ax² + (2a + b)x + (a - c - 3) = 4x² + 2x + 4

a = 4, 2a + b = 2, a - c - 3 = 4면 항등식이에요.
a = 4, b = -6, c = -3

정리해볼까요

항등식: 미지수 x가 들어있지만 x에 관계없이 항상 참인 등식

모든 항을 좌변으로 이항하여 동류항 정리를 끝낸 형태가 0x + 0 = 0이면 항등식
ax + b = 0이 x에 관한 항등식 ⇔ a = b = 0
ax² + bx + c = 0이 x에 관한 항등식 ⇔ a = b = c = 0
ax + b = cx + d가 x에 관한 항등식 ⇔ a = c, b = d
ax² + bx + c = a'x² + b'x + c'가 x에 관한 항등식 ⇔ a = a', b = b', c = c'

다항식의 나눗셈

<< 수학 1 목차 >>

미정계수법 - 계수비교법, 수치대입법

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2013년 이전 고등학교 1학년 수학목차입니다. (2012년, 2011년, 2010, …… 등에도 해당)

2014년 이후 고등학교 1학년은 2014년 고1 수학 목록을 참고하세요.

그리드형

사실 이제까지 해온 모든 과정은 이 글의 내용을 위해서 공부한 것이라고 해도 과언이 아니에요. 이 단원의 핵심이 바로 오늘 공부할 내용입니다.

일차방정식의 뜻과 풀이는 한 단원에서 제일 중요한 것뿐 아니라, 중1 수학에서 핵심 중의 핵심인 내용입니다. 매우 중요하죠.

설명과 원리는 비교적 간단하니까 문제 푸는 연습을 많이 하세요. 암산까지는 아니더라도 막힘없이 문제를 푸는 수준까지는 되어야 합니다.

이항

등식의 성질에서 등식의 양변에 같은 수를 더하거나 같은 수를 빼도 등식은 성립한다고 했어요. 그리고 이 등식의 성질을 이용해서 미지수 x의 값을 구했죠.

2x + 3 = 9에서 좌변의 3을 없애주려고 양변에서 3을 빼줬어요.
2x + 3 - 3 = 9 - 3

여기서 우변은 그대로 두고, 좌변만 계산을 해보면 3 - 3은 0이 되니까 2x만 남죠.
2x = 9 - 3

처음 식 2x + 3 = 9와 두 번째 식 2x = 9 - 3을 비교해볼까요?

다른 건 다 그대로인데, 좌변에 + 3이 없어지고, 우변에 - 3이 생겼죠? 좌변에 있던 상수항은 없어지고, 우변에는 상수항과 부호가 반대인 새로운 상수항이 생겼어요.

이걸 원래 좌변에 있던 항의 부호를 반대로 바꿔서 우변으로 옮기는 것으로 생각하게 된 거죠. 이렇게 함으로써 좌변에서 상수항을 계산했던 과정을 생략할 수 있거든요.

이처럼 등식의 성질을 이용해서 등식의 한 변에 있는 항을 부호를 바꾸어 등호의 반대쪽으로 옮기는 것을 이항이라고 해요. 이건 좌변에 있는 걸 부호를 바꾸어 우변으로 옮길 수도 있고, 우변에 있는 걸 부호를 반대로 바꿔서 좌변에 써 줄 수 있어요. 상수항만 되는 게 아니라 모든 항이 가능해요.

3 = x - 4에서 우변의 - 4를 좌변으로 옮기면서 부호를 반대로 바꿔주면
3 + 4 = x가 되지요.

3x - 2 = 6 - x라는 식이 있을 때, x가 있는 항을 좌변으로, 상수항을 우변으로 이항하면
3x + x = 6 + 2가 돼요.

일차방정식의 뜻

일차방정식은 일단 이름에서 방정식이라는 걸 알 수 있어요. 그리고 차수가 1이라는 것도 알 수 있죠. 일차방정식은 차수가 1인 방정식을 말해요.

식 자체만 봐서는 일차방정식인지 아닌지 알 수 없어요. 일차방정식인지 판단하기 전에 모든 항을 좌변으로 이항해서 동류항끼리 계산을 해야 해요. 계산한 뒤에 좌변이 일차식이 되는지를 봐야 알 수 있어요. 일차방정식은 (일차식) = 0의 형태거든요.

2x + 3 = 5의 모든 항을 좌변으로 이항해서 정리해보죠.
2x + 3 - 5 = 0
2x - 2 = 0

이 식은 미지수 x의 차수가 1인 일차방정식이 맞네요.

2(x + 3) = 6 + 2x의 모든 항을 좌변으로 이항시켜 보죠.
2(x + 3) - 6 - 2x = 0
2x + 6 - 6 - 2x = 0
0 = 0

모든 항을 좌변으로 이항해서 정리했는데, 미지수 x가 없어요. 그래서 차수가 0이 되었죠. 2(x + 3) = 6 + 2x를 봤을 때, x의 차수가 1이었는데, 정리를 해보니까 x가 없어졌어요. 그냥 봤을 때는 일차방정식처럼 보이지만 실제는 아니라는 거죠. 따라서 일차방정식인지 아닌지를 알아볼 때는 이항과 동류항 정리를 꼭 해봐야 합니다.

다음 중 일차방정식을 모두 고르시오.
(1) 2(x + 3) = -2x + 3
(2) 2(x + 3) = 2x + 3
(3) x² + x - 1 = x² - x - 1
(4) x² + x - 1 = -x² - x - 1

일차방정식인지 아닌지 알아볼 때는 모든 항을 좌변으로 이항해서 정리한 식이 일차식인지 보는 거예요.

(1) 2(x + 3) = -2x + 3의 모든 항을 이항시켜보죠.
2(x + 3) + 2x - 3 = 0
2x + 6 + 2x - 3 = 0
4x + 3 = 0

좌변이 x에 관한 일차식이므로 일차방정식이 맞네요.

(2) 2(x + 3) = 2x + 3
2(x + 3) - 2x - 3 = 0
2x + 6 - 2x - 3 = 0
3 = 0

일단 3과 0은 같지 않으니까 틀린 등식인데다가 좌변에 문자가 없이 상수항만 있으니 차수가 0이 되어 일차식도 아니고, 방정식도 아닌 식이네요.

(3) x² + x - 1 = x² - x - 1
x² + x - 1 - x² + x + 1
2x = 0

좌변이 x에 관한 일차식이므로 일차방정식이군요.

(4) x² + x - 1 = -x² - x - 1
x² + x - 1 + x² + x + 1 = 0
2x² + 2x = 0

최고차항의 차수가 2이므로 이차방정식입니다.

보기에서 (1)과 (3)이 일차방정식입니다.

일차방정식의 풀이

일차방정식의 풀이는 기본적으로 이항과 등식의 성질을 이용해요. 등식의 성질을 이용한 방정식의 풀이에서 x = (숫자)꼴로 만들어서 해를 구했어요.

여기서도 마찬가지예요. x = (숫자) 꼴로 만들어요.

x가 포함된 모든 항은 좌변으로, x가 없는 항(상수항)은 모두 우변으로 이항
각 변을 정리하여 ax = (숫자)꼴로
x의 계수 a로 양변을 나눈다.

일차방정식의 풀이

다음 방정식을 풀어라.
(1) 2x + 4 = 3x - 5
(2) 5 + 3x = x + 7

방정식을 푼다는 말은 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값, 해를 구하라는 얘기예요. 방정식을 풀 때는 좌변에는 x가 있는 항, 우변에는 상수항이 오도록 이항하고, 동류항을 계산한 다음 x의 계수로 나눠주는 거죠.

(1) 2x + 4 = 3x - 5
2x - 3x = -5 - 4
-x = -9
x = 9

(2) 5 + 3x = x + 7
3x - x = 7 - 5
2x = 2
x = 1

정리해볼까요

이항: 등식에서 항의 부호를 바꾸어 반대변으로 옮기는 것

일차방정식: 미지수의 차수가 1인 방정식. (일차식) = 0

일차방정식의 풀이

x가 포함되어 있는 모든 항은 좌변으로, x가 없는 항(상수항)은 모두 우변으로 이항
각 변을 정리하여 ax = (숫자)꼴로
x의 계수로 양변을 나눈다.

등식의 성질, 등식의 성질을 이용한 방정식의 풀이 <<

중1 수학 목차

>> 복잡한 일차방정식의 풀이

그리드형

방정식과 항등식, 등식의 뜻에서 등식과 방정식, 항등식에 대해서 공부했어요.

이제는 등식의 성질을 공부할 거예요. 등식의 특징이 있는데, 이 특징을 잘 이용하면 방정식의 해를 쉽게 구할 수 있거든요. 앞으로 배울 단원이 일차방정식인 걸 고려하면 이 등식의 성질은 앞으로 계속해서 사용할 아주 중요한 성질이라는 알 수 있겠죠?

그렇다고 성질을 공식처럼 외울 필요는 없어요. 그 의미를 제대로 파악하고 실제 식에서 사용할 수 있으면 돼요.

등식의 성질

등식에는 아주 중요한 성질이 있어요. 이 성질은 꼭 알고 있어야 합니다.

참인 등식은 등호(=) 양쪽에 있는 좌변과 우변이 같아요.

2 + 3 = 5는 참인 등식이죠. 이 등식의 양변에 4를 더해볼까요?
2 + 3 + 4 = 5 + 4

양변에 똑같이 4를 더하면, 좌변, 우변의 값은 9로 달라지지만, 양쪽 모두 9니까 서로 같은 건 그대로죠. 만약에 양변에 똑같이 4를 뺀다면 어떨까요? 값은 1이 되지만 양변 모두 1이니까 양변이 같은 건 그대로 에요.

즉, 참인 등식에서 양변에 같은 수를 더하거나 빼더라도 그 등식은 계속 참인 거죠.

양변에 같은 수를 더하거나 뺄 때뿐 아니라 같은 수를 곱하거나 나눌 때도 똑같아요. 이걸 등식의 성질이라고 해요.

등식의 성질

등식의 양변에 같은 수를 더해도 등식은 성립한다.
a = b이면 a + c = b + c
등식의 양변에서 같은 수를 빼도 등식은 성립한다.
a = b이면 a - c = b - c
등식의 양변에 같은 수를 곱해도 등식은 성립한다.
a = b이면 ac = bc
등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.
a = b이면 a ÷ c = b ÷ c (c ≠ 0)

한 가지 주의할 건 양변을 같은 수로 나눌 때 0으로 나누는 건 안 되요. 나눗셈은 분수로 바꿀 수 있는데, 분모가 0인 분수는 없으니까 0으로 나누는 경우는 없어요. 문제에서 "등식의 양변을 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다."라는 말이 나오면 틀린 거예요.

등식의 성질을 이용한 일차방정식의 풀이

등식의 성질이 왜 중요하면 방정식을 풀 때 이용하기 때문이에요.

방정식의 해를 구할 때, x = 1, 2, 3, …처럼 숫자를 하나씩 넣으면서 구할 수는 없어요. 해가 1, 2, 3안에 있으면 괜찮지만 100일 수도 있고, -1일 수도 있잖아요. 혹은 일 수도 있고요.

이때, 등식의 성질을 이용하면 방정식의 해를 조금 더 쉽게 구할 수 있어요.

4x + 2 = -10이라는 방정식이 있다고 해보죠. x = (숫자) 꼴로 나타내면 미지수 x의 값을 구할 수 있죠? 이 미지수 x의 값이 방정식의 해고요. 방정식의 좌변에 x만 남도록 식의 모양을 바꿔보죠.

4x + 2 = -10에서 좌변에서 일단 2를 없애보죠. 2를 없애려면 2를 빼면 되는데, 좌변에서 2를 빼면, 우변에도 똑같이 2를 빼줘야 등식이 성립해요.
4x + 2 = -10
4x + 2 - 2 = -10 - 2 (등식의 양변에서 똑같은 수를 빼도 등식은 성립한다.)
4x = -12

이제 좌변에 4x만 남았네요. 4x는 원래는 4 × x로 곱셈기호가 생략된 거예요. 4로 나눠주면 x만 남겠죠? 좌변을 4로 나누면 우변도 4로 나눠줘야 등식이 성립해요.
4x = -12
4x ÷ 4 = -12 ÷ 4 (등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.)
x = -3

해를 구했어요.

등식의 성질을 이용한 방정식의 풀이
x = (숫자) 꼴로 방정식의 모양을 바꾼다.
x가 없는 항을 먼저 정리하고, 마지막에 x의 계수로 양변을 나눈다.

등식의 성질을 이용하여 다음 방정식을 풀어라.
(1) -3x + 2 = 8
(2) 5x - 5 = 30

x = (숫자) 꼴로 방정식의 모양을 바꾸는데, 이때 등식의 성질을 이용해요.

(1)에서 먼저 2를 없앤 다음에, x에 곱해져 있는 (-3)을 없애야겠네요.
-3x + 2 = 8
-3x + 2 - 2 = 8 - 2
-3x = 6
-3x ÷ (-3) = 6 ÷ (-3)
x = -2

(2) 5x - 5 = 30
5x - 5 + 5 = 30 + 5
5x = 35
5x ÷ 5 = 35 ÷ 5
x = 7

정리해볼까요

등식의 성질

등식의 양변에 같은 수를 더해도 등식은 성립한다.
a = b이면 a + c = b + c
등식의 양변에서 같은 수를 빼도 등식은 성립한다.
a = b이면 a - c = b - c
등식의 양변에 같은 수를 곱해도 등식은 성립한다.
a = b이면 ac = bc
등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.
a = b이면 a ÷ c = b ÷ c (c ≠ 0)

등식의 성질을 이용한 방정식의 풀이

x = (숫자) 꼴로 변경
x가 없는 항부터 없앤 후 마지막에 x의 계수로 양변을 나눔

방정식과 항등식 <<

중1 수학 목차

>> 일차방정식의 풀이

그리드형

이번 글은 아주아주 중요합니다. 앞으로 배울 수학에서 가장 기본이 되는 식을 배울 거거든요. 여기서 공부할 방정식은 앞으로 배울 부등식, 함수 등 모든 식의 기본이 되는 식이에요.

다만 한가지 다행인 건 우리가 이제까지 알게 모르게 해왔던 것 과정이라는 거지요. 이름을 몰랐을 뿐이고, 그 정확한 정의를 몰랐을 뿐이에요.

방정식과 항등식은 비슷해 보이지만 다른 식이에요. 둘을 구별할 수 있도록 차이를 잘 비교해보세요.

등식

2 + 3을 계산해보세요. 2 + 3 = 5 이렇게 계산할 거예요.

위 계산에서 = 라는 기호를 사용했어요. 등호라고 부르는 이 기호는 = 양쪽이 서로 같다는 뜻이에요.

등식은 등호(=)의 양쪽이 서로 같음을 나타내는 식이에요. 등호의 왼쪽을 좌변, 오른쪽은 우변이라고 부르고, 좌변과 우변을 통틀어 양변이라고 불러요.

식에 등호가 있으면 식이 맞든 틀리든 상관없이 등식이라고 해요. 식이 맞으면 참인 등식, 틀리면 거짓인 등식이라고 해요.

2 + 3 = 6이라는 식이 있어요. 좌변과 우변이 다른데, 등호를 써서 같다고 했으니 잘못된 식이죠? 이게 바로 거짓인 등식이에요.

방정식과 항등식

방정식

문자와 식에서 문자를 사용해서 식을 세울 수 있다고 공부했어요. 문자를 왜 쓰나요? 모르는 어떤 수를 □라고 쓰는 대신 문자로 썼었죠? 이 모르는 수를 미지수라고 합니다. 미지수는 보통 x를 쓰지만 정해진 건 아니니까 아무 문자나 사용해도 상관없어요.

예전 같으면 "□ + 3 = 5에서 □는 2입니다." 했다면 이제는 "x + 3 = 5에서 x = 2입니다."로 바뀐 것뿐이에요.

방정식은 미지수가 있어서, 그 미지수에 따라 식이 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식이에요. 등호와 미지수가 같이 있어야 해요.

x + 3 = 5에서
x가 1이면 좌변은 4, 우변은 5여서 이 식은 거짓이에요.
x가 2면 좌변과 우변이 모두 5로 같지요. 이때 식은 참이에요.
x가 3이면 좌변이 6, 우변은 5여서 거짓이 되지요.

미지수 x에 따라서 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하니까 x + 3 = 5는 방정식이라고 할 수 있는 거지요.

방정식이 참이 될 때의 미지수를 방정식의 해 또는 방정식의 근이라고 해요. x + 3 = 5에서는 x가 2일 때, 식이 참이었으니 이 방정식의 해는 2에요.

문제의 답을 구하는 걸 문제를 푼다고 하지요? 방정식에서 해를 찾는 걸 방정식을 푼다고 해요.

방정식: 미지수에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식
방정식의 해: 방정식을 참이 되게 하는 미지수. 방정식의 근
방정식을 푼다: 방정식의 해를 구하는 것.

항등식

항등식은 미지수에 어떤 수를 대입해도 참이 되는 등식이에요. 항상 참인 등식이죠.

x + 1 = 1 + x라는 식에서
x = 1이면 좌변과 우변이 모두 2로 같아요. 참이죠.
x = 2이면 좌변과 우변 모두 3으로 같아요. 역시 참이에요.

x + 1 = 1 + x는 x에 어떤 값을 넣어도 참이 돼요. 항등식이죠.

방정식과 항등식 구별

방정식과 항등식 구별
방정식	항등식
미지수가 특정한 값을 가질 때만 참	미지수가 어떤 값을 가져도 참
좌변과 우변이 다른 식	좌변과 우변이 같은 식

x + 1 = 1 + x을 보세요. 좌변 x + 1은 덧셈에 대한 교환법칙에 의해서 1 + x와 같죠. 결국, 좌변과 우변이 모두 1 + x에요. 양변이 서로 같으니까 항등식인 거죠.

x + x = 2x라는 식도 한 번 볼까요. 좌변을 동류항 덧셈을 해보면 2x가 돼요. 이건 우변인 2x와 같은 식이죠. 그래서 이 등식은 항등식이 되는 거예요.

x + 3 = 5라는 등식에서 좌변은 식을 더는 바꿀 수 없죠? 그 상태에서 좌변과 우변의 식이 달라요. 그래서 이 등식은 항등식이 아니라 방정식인 거예요.

다음 중 방정식과 항등식을 모두 고르시오.
(1) 2x + 3 = 3 + 2x
(2) 2x - 1 < 5
(3) 2x - x = x
(4) 3 + 5 = 8
(5) 2x - 4 = 6

방정식은 미지수가 있어서 미지수에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식이에요. 항등식은 항상 참인 등식으로 좌변과 우변이 같은 식으로 되어 있어요.

(1) 2x + 3 = 3 + 2x은 좌변의 2x + 3을 교환법칙에 따라 자리를 바꾸면 3 + 2x가 되어 우변과 같은 식이 되므로 항등식이에요.

(2) 2x - 1 < 5은 등호가 아니라 부등호가 있어서 등식이 아니에요.

(3) 2x - x = x에서 좌변 2x - x를 동류항 계산해보면 x가 되어 우변과 같으므로 이 식은 항등식이네요.

(4) 3 + 5 = 8은 미지수가 없네요. 미지수가 없으니까 방정식도 아니고 항등식도 아닌 그냥 등식입니다.

(5) 2x - 4 = 6은 미지수 x가 있지만, 좌변과 우변이 서로 다르고 x = 5일 때만 참이 되는 방정식이네요.

따라서 방정식은 (5)이고, 항등식은 (1), (3) 입니다.

정리해볼까요

등식: 등호(=)를 사용하여 양쪽이 서로 같음을 나타낸 식
방정식: 미지수에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식
항등식: 미지수가 어떤 값을 가져도 항상 참이 되는 등식

일차식의 덧셈과 뺄셈, 동류항 <<

중1 수학 목차

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