로그부등식은 로그방정식 + 지수부등식이에요. 기본적으로 로그라는 기본 틀이 같으니까 로그방정식의 풀이법을 따르는데 식 자체가 부등식이니까 지수부등식에 나왔던 내용과 비슷하죠.

로그부등식을 풀 때 이용하는 성질은 로그함수의 그래프를 생각하면 쉽게 이해할 수 있어요. 로그함수의 그래프는 밑이 1보다 클 때와 0보다 크고 1보다 작을 때의 두 가지가 있었죠? 그래서 로그부등식을 푸는 기본 성질도 두 가지가 있어요.

이 두 가지 성질만 잘 이해하면 로그부등식의 문제를 푸는 게 아주 쉬워요.

로그부등식

로그방정식은 로그의 밑 또는 진수에 미지수를 포함하는 방정식이죠? 그러니까 로그부등식은 로그의 밑 또는 진수에 미지수를 포함하는 부등식을 말해요.

지수부등식, 지수부등식의 풀이에서 지수함수의 그래프를 이용해서 지수부등식을 설명했어요. 로그부등식에서도 로그함수의 그래프를 이용해서 설명할게요.

로그함수 y = logax 그래프는 밑인 a의 크기에 따라 함수의 특징이 달라졌어요. a > 1일 때는 x가 증가하면 y도 증가하고, 0 < a < 1일 때는 x가 증가하면 y는 감소해요.

아래는 a > 1일 때의 y = logax 그래프예요.

로그함수의 그래프 (a > 1일 때)

밑이 1보다 큰 로그함수는 증가함수니까 x1 < x2이면 logax1 < logax2이에요. 로그부등식의 부등호의 방향과 진수인 x의 부등호의 방향이 같아요.

이번에는 0 < a < 1일 때의 y = logax 그래프예요.

로그함수의 그래프 (0 < a < 1일 때)

밑이 0보다 크고 1보다 작은 로그함수는 감소함수니까 x1 < x2이면 logax1 > logax2이에요. 로그부등식의 부등호의 방향과 진수인 x의 부등호의 방향이 반대예요.

  • 임의의 양수 x1, x2에 대하여 a > 0, a ≠ 1일 때
  • a > 1일 때
    • logax1 < logax2 ⇔ x1 < x2
    • (로그부등식의 부등호의 방향) = (진수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)
  • 0 < a < 1일 때
    • logax1 < logax2 ⇔ x1 > x2
    • (로그부등식의 부등호의 방향)과 (진수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)이 반대

로그부등식을 풀 때는 이 성질을 이용해요. 이 성질은 지수부등식, 지수부등식의 풀이에서의 특징과 같아요.

이건 밑이 같을 때예요. 만약에 밑이 다르면 어떻게 해야 할까요? 간단해요. 로그의 성질이나 로그의 밑 변환 공식을 이용해서 밑을 같게 만들어 주면 돼요.

지수에 로그가 있을 때는 로그를 취해서 풀어요.

공통부분이 있다면 치환을 하고요.

로그방정식에서 했던 것과 똑같죠?

그러니까 로그부등식은 지수부등식 + 로그방정식이에요.

그리고 로그부등식을 풀 때 절대 빠뜨리면 안 되는 게 한 가지 있어요. 바로 밑이 1이 아닌 양수, 진수가 양수인지 꼭 확인하는 거요. 로그의 정의에서 얘기한 밑과 진수의 조건에 맞는지 확인하는 거죠. 로그방정식에서도 중요한 내용이었어요.

다음 로그부등식의 해를 구하여라.
(1) log2(x + 1) < 4
(2) log3x ≥ log9x
(3) (logx)2 - logx < 6

(1)은 좌변은 로그, 우변은 그냥 실수네요. 우변에 log22 = 1을 곱해보죠.

log2(x + 1) < 4
log2(x + 1) < 4log22
log2(x + 1) < log224

양변의 밑이 2로 같고 1보다 크니까 로그부등식의 부등호 방향과 진수의 방향이 같아요.

x + 1 < 24
x < 15

여기서 끝이 아니죠? 로그의 진수는 양수여야 하니까 좌변의 진수 x + 1도 양수여야 해요.

x + 1 > 0
x > -1

따라서 해는 -1 < x < 15

(2)번은 양변의 밑이 서로 다르네요. 로그의 성질을 이용해서 밑을 같게 만들어줘야 해요.

양변의 밑이 3으로 같고 1보다 크니까 로그부등식의 부등호 방향과 진수의 방향이 같아요.

x2 ≥ x
x2 - x ≥ 0
x(x - 1) ≥ 0

x ≤ 0 or x ≥ 1

진수 x2과 x가 양수여야 하죠?

x2 > 0
x ≠ 0

x > 0

따라서 해는 x ≥ 1

(3)에는 밑이 없네요. 상용로그란 얘기죠. logx = t로 치환해보죠.

(logx)2 - logx < 6
t2 - t < 6
t2 - t - 6 < 0
(t - 3)(t + 2) < 0
-2 < t < 3

-2 < logx < 3
-2log10< logx < 3log10
log10-2 < logx < log103

밑이 10으로 같고 1보다 크니까 부등호의 방향과 진수의 방향이 같아요.

10-2 < x < 103

진수 x는 0보다 커야하죠? x > 0

따라서 해는 < x < 1000

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정리해볼까요

로그부등식: 로그의 밑 또는 진수에 미지수를 포함하는 부등식

  • 임의의 양수 x1, x2에 대하여 a > 0, a ≠ 1일 때
  • a > 1일 때
    • logax1 < logax2 ⇔ x1 < x2
    • (로그부등식의 부등호의 방향) = (진수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)
  • 0 < a < 1일 때
    • logax1 < logax2 ⇔ x1 > x2
    • (로그부등식의 부등호의 방향)과 (진수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)이 반대
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