로그함수와 로그함수의 그래프에 대해서 알아보죠.

로그의 정의에서 공부했던 것처럼 로그와 지수(거듭제곱)는 서로 깊은 관계가 있어요. 따라서 로그함수와 지수함수도 아주 깊은 관계가 있죠. 그래프도 물론이고요.

역함수와 역함수의 그래프의 성질에 대해서 알고 있으면 로그함수와 지수함수의 관계를 조금 더 쉽게 이해할 수 있어요.

로그함수

역함수, 역함수 구하는 법에서 역함수 구하는 방법 공부했었죠?

지수함수 y = ax (a > 0, a ≠ 1)의 역함수를 구해보죠.

  1. 함수 y = f(x)가 일대일 대응인지 확인
    지수함수 y = ax (a > 0, a ≠ 1)에서 정의역은 실수의 집합이고, 치역은 양수의 집합이었어요. 그리고 일대일 대응이죠.
  2. y = f(x)를 x에 대하여 푼다. → x = f-1(y)
    로그의 정의에 따르면 y = ax → x = logay
  3. x와 y를 바꾼다. → y = f-1(x)
    y = logax
  4. 함수 f의 정의역과 치역을 서로 바꾼다.
    정의역은 양수의 집합, 치역은 실수의 집합

지수함수의 역함수를 구했더니 a를 밑으로 하는 로그가 되었죠? 이 로그를 로그함수라고 해요.

로그함수
y = logax (a > 0, a ≠ 1)
지수함수 y = ax (a > 0, a ≠ 1)의 역함수
정의역은 양수 전체의 집합, 치역은 실수 전체의 집합

로그함수의 그래프

로그함수의 그래프를 한 번 그려보죠.

로그함수는 지수함수의 역함수예요. 역함수의 그래프는 y = x에 대하여 대칭이에요. 지수함수 y = ax의 그래프를 y = x에 대칭이동한 그래프가 로그함수 y = logax의 그래프죠.

지수함수 y = ax (a > 0, a ≠ 1)의 그래프는 (0, 1), (1, a)를 지나고 x축이 점근선이었어요.

그리고 a의 범위에 따라 두 가지 형태가 있었죠. a > 1일 때는 x가 증가할 때, y도 증가하고, 0 < a < 1일 때는 x가 증가하면 y는 감소해요.

로그함수의 그래프 - a > 1일 때      로그함수의 그래프 - 0 < a < 1일 때

왼쪽이 a > 1일 때로 얇은 빨간선이 y = ax의 그래프, 두꺼운 파란선이 y = logax의 그래프예요. 로그함수의 그래프도 x가 증가하면 y가 증가하네요. 로그함수의 그래프는 y축에 점점 가까워지니까 y축이 점근선이에요.

오른쪽이 0 < a < 1일 때로 지수함수와 로그함수의 그래프에서 x가 증가하면 y가 감소해요.

지수함수 y = ax, 로그함수 y = logax (a > 0, a ≠ 1)를 비교해보죠.

지수함수 y = ax와 로그함수 y = logax의 그래프 비교
a > 0, a ≠ 1 y = ax y = logax
정의역 {x|x는 실수} {x|x > 0인 실수}
치역 {y|y > 0인 실수} {y|y는 실수}
(0, 1) (1, 0)
(1, a) (a, 1)
점근선 x축 y축
증가, 감소 a > 1일 때, x가 증가하면 y도 증가
0 < a < 1일 때, x가 증가하면 y는 감소
역함수 두 함수는 서로 역함수로 그래프는 y = x에 대하여 대칭

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정리해볼까요

로그함수와 그래프

  • y = logax (a > 0, a ≠ 1)
  • 지수함수 y = ax (a > 0, a ≠ 1)의 역함수, y = x에 대하여 대칭
  • 정의역은 양수 전체의 집합, 치역은 실수 전체의 집합
  • (1, 0), (a, 1)을 지난다.
  • 점근선은 y축
  • a > 1일 때, x가 증가하면 y도 증가
    0 < x < 1일 때, x가 증가하면 y는 감소
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