지수함수, 지수함수의 그래프

지수법칙에 이어 지수함수예요. 지수함수는 이름 그대로 지수를 이용한 함수예요.

x가 증가할 때 y는 증가하는지 감소하는지, 그래프가 어느 방향으로 향하는지, 반드시 지나는 점이 있는지 등 함수의 그래프를 공부할 때 알아야 하는 성질이 몇 가지 있죠? 지수함수의 그래프에서도 똑같이 그런 특징들을 알아볼 거예요.

그러니까 지수함수는 앞에서 했던 지수가 실수일 때 지수법칙, 일반적인 함수와 그래프의 두 내용이 섞여서 나와요. 이미 알고 있는 두 내용이니까 잘 읽어보면 이해하는 게 그렇게 어렵지는 않을 거예요.

지수함수

a > 0일 때, 임의의 실수 x에 대하여 a^x는 그 값이 하나만 있어요. x에 대하여 한 개의 값만 대응하니까 함수라고 할 수 있죠.

이 y = a^x를 a를 밑으로 하는 지수함수라고 해요.

만약에 a = 1이면 y = 1이라는 상수함수가 되죠? 그래서 지수함수에서는 a ≠ 1이에요.

실수인 거듭제곱근에서 a < 0이고 n이 짝수일 때 y = 를 만족하는 실수는 없다고 했어요. 그러니까 a < 0도 안 돼요.

그래서 지수함수에서는 a > 0이라는 조건이 붙어요.

지수함수
실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수 y = a^x(a > 0, a ≠ 1)를 a를 밑으로 하는 지수함수라 한다.

지수함수의 그래프

y = a^x에서 x = 0이면 y = 1이죠? x = 1이면 y = a예요. 즉, y = a^x의 그래프는 a와 관계없이 무조건 (0, 1), (1, a)라는 두 점을 지나요.

a > 1일 때를 보죠.

a = 2라고 해볼까요?

…
2^-3 =
2^-2 =
2^-1 =
2⁰ = 1
2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8
…

지수가 커지면 커질수록 그 결과도 커져요. 반대로 지수가 작아지면 작아질수록 결과도 작아지죠. 하지만 0보다는 커요.

지수 x가 커지면 y도 커지니까 오른쪽 위로 향하는 그래프죠. 지수 x가 작아지면 y도 작아지는데, 0에 한없이 가까워지기만 할 뿐 0보다는 커요. 그래프가 점점 가까워지는 직선을 점근선이라 하죠? x축이 점근선이에요.

지수함수의 그래프 - a > 1일 때

0 < a < 1일 때를 볼까요?

a = 이라고 해보죠.

지수가 작아지면 작아질수록 그 결과는 커져요. 반대로 지수가 커지면 커질수록 결과는 작아지죠. 하지만 0보다는 커요.

지수 x가 커지면 y도 커지니까 오른쪽 아래로 향하는 그래프죠. 여기서도 x축이 점근선이에요.

지수함수의 그래프 - 0< a < 1일 때

y = 2^x와 y = 의 값을 잘 보세요.

밑이 역수일 때 지수인 x의 부호가 반대면 y값이 같아요. 즉 밑이 역수인 두 지수함수는 y축에 대하여 대칭인 걸 알 수 있어요.

지수함수 y = a^x(a > 0, a ≠ 1)의 그래프
정의역은 실수 전체의 집합, 치역은 양수의 집합
(0, 1), (1, a)를 지난다.
x축이 점근선
a > 1일 때, x가 증가하면 y도 증가
0 < a < 1일 때, x가 증가하면 y는 감소
y = a^x의 그래프와 의 그래프는 y축에 대하여 대칭