거듭제곱근에 대해서 알아봤는데요. 이제는 거듭제곱근에 대해서 조금 더 자세히 알아보죠.

거듭제곱근을 구할 때는 방정식을 이용해서 구했는데 그렇게 구한 거듭제곱근에는 실수도 있고 복소수도 있었죠? 앞으로는 거듭제곱근 중에서 실수인 것만 사용하는데, 실수인 거듭제곱근은 몇 개가 있는지 그래프를 통해서 알아볼 거예요.

그리고 실수인 거듭제곱근이 의미하는 것에 대해서도 알아볼 건데 이게 좀 어려우니까 집중해서 잘 보세요.

실수인 거듭제곱근

방정식에서 x의 차수만큼 해가 존재해요. 거듭제곱근도 식으로 표현하면 일종의 방정식이죠?

xn = a ⇔ a의 n제곱근

위 식을 만족하는 x는 n개 존재해요.

방정식의 해는 삼차방정식 x3 = 1의 허근 ω 오메가의 성질에서 봤던 것처럼 실근과 허근이 섞여 있어요. 마찬가지로 a의 n 제곱근은 n개 있는데 그중에는 실수와 허수가 섞여 있는 거죠. 하지만 여기서는 실수인 것만 다뤄요.

xn = a를 만족하는 실수 x를 구하기 위해서 두 개의 그래프로 나눠서 생각해보죠. y = xn과 y = a의 그래프의 교점의 x좌표가 실수 x가 되겠죠?

n이 짝수일 때

먼저 n이 짝수일 때예요. 그냥 간단하게 이차함수의 그래프를 생각하세요. y축에 대하여 대칭이에요.

실수인 거듭제곱근 - n이 짝수일 때

a > 0일 때는 y = xn과 y = a의 그래프는 두 점에서 만나요. n 제곱근 중에 실수인 x가 두 개라는 걸 알 수 있어요. 양수인 것은 n 제곱근 a, 음수인 것은 예요.

n = 2일 때도 양수와 음수 2개의 제곱근이 있었어요.

거듭제곱근을 나타낼 때는 근호()의 모서리에 조그맣게 n을 쓰고 근호 안에는  a를 써요. 읽을 때는 그냥 n제곱근 a라고 읽고요. 에서는 2를 생략하고 그냥 만 써도 괜찮아요.

a = 0일 때는 한 점에서 만나요. n 제곱근 중에 실수인 x가 한 개라는 걸 알 수 있어요. 0은 그냥 0이죠?  = 0

a < 0일 때는 만나는 점이 없어서 n 제곱근 중에 실수인 x가 없어요.

n이 홀수일 때

n이 홀수일 때예요. 그래프는 나중에 따로 공부하겠지만 그래프가 원점에 대하여 대칭이에요.

실수인 거듭제곱근 - n이 홀수일 때

a의 부호와 상관없이 y = xn과 y = a의 그래프는 한 점에서 만나요. n 제곱근 중에 실수인 x가 한 개라는 걸 알 수 있어요. 이때는 n 제곱근 a라는 한 개의 실수만 있어요.

a > 0이면 교점이 y축보다 오른쪽에 있으니까 x = n 제곱근 a, a = 0이면 x = n 제곱근 a = 0이죠. 그럼 a < 0일 때는 교점이 y축보다 왼쪽에 있으니까 x = 일까요?

그래프에서 보면 y축에서 왼쪽에 있는 교점의 x좌표n 제곱근 a 앞에 (-)가 안 붙어있죠? 왜 그럴까요?

실수의 곱에서 음수를 홀수 개 곱하면 그 결과가 음수고, 음수를 짝수 개 곱하면 그 결과가 양수예요. x3 = -1에서 어떤 똑같은 수를 세 번 곱해서 -1이 나오려면 세 수가 모두 음수인 -1이어야 해요. 음수를 세 개 곱해야 음수가 나오니까요.

xn = a에서 n이 홀수일 때, a < 0이면 x < 0이어야 한다는 거죠. x가 음수여야 x를 홀수 개 곱했을 때 음수 a가 나와요.

x = n 제곱근 a인데, 그 자체가 이미 음수라는 의미를 포함하고 있어요. 그러니까 따로 n 제곱근호 앞에 (-) 부호를 붙이지 않아도 음수라는 거죠.

마치 ax2 + bx + c = 0 (a < 0)에서 a 앞에 (-) 부호가 없지만 a 자체가 음수인 거랑 비슷한 거예요.

조금 이해하기 어려울 수 있는데, 천천히 다시 읽어보세요.

xn = a일 때 실수인 거듭제곱근
a > 0 a = 0 a < 0
n이 짝수 0 없다.
n이 홀수 n 제곱근 a

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정리해볼까요

xn = a일 때 실수인 거듭제곱근

  • n이 짝수
    • a > 0이면 2개의 실수, x =
    • a = 0이면 1개의 실수, x =  = 0
    • a < 0이면 존재하지 않는다.
  • n이 홀수
    • a의 부호와 상관없이 1개의 실수, x =
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