거듭제곱근에 대해서 공부할 거예요. 거듭제곱근은 이름에서 알 수 있듯이 거듭제곱과 관련된 내용이에요. 거듭제곱이 나오면 당연히 지수법칙이 따라오고요. 또, 이름 뒷부분에 제곱근이라는 게 있으니까 제곱근과도 관련된 내용도 나와요. 따라서 거듭제곱, 지수법칙, 제곱근의 의미 등 중학교에서 공부했던 내용에 대해서 잘 이해하고 있어야 해요.

반대로 말해서 거듭제곱, 지수법칙, 제곱근의 의미를 잘 이해하고 있다면 쉽게 공부할 수 있는 내용이에요.

거듭제곱근

거듭제곱과 지수법칙

거듭제곱과 지수법칙에 대해서 간단히 정리해보죠.

거듭제곱은 어떤 수를 반복해서 곱하는 것을 말해요.

22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, …

거듭제곱으로 표시했을 때 아래에 있는 (곱한 숫자)를 , 오른쪽 위에 잇는 (곱한 횟수)를 지수라고 하죠.

거듭제곱
(곱하는 수)(곱한 횟수) → 밑지수

이런 지수에는 특별한 법칙이 성립하고 이를 지수법칙이라고 해요.

m, n이 자연수일 때
am × an = am + n
(am)n = amn

거듭제곱근

제곱근은 뭔가요? 제곱해서 실수 a가 되는 수를 a의 제곱근이라고 하죠?

x2 = a ⇔ x =

그럼 세제곱해서 a가 되는 수도 있겠죠? 그런 수를 바로 a의 세제곱근이라고 해요.

y3 = a

22 = (-2)2 = 4이므로 4의 제곱근은 ±2죠.
23 = 8이므로 8의 실수인 세제곱근은 2에요.
24 = (-2)4 = 16이므로 16의 실수인 네제곱근은 ±2죠.

이처럼 제곱근, 세제곱근, 네제곱근, …이 있는데, 이를 통틀어서 거듭제곱근이라고 해요.

삼차방정식의 허근 ω 오메가의 성질에서 ω는 x3 = 1의 한 허근이었죠? 여기서 x는 세제곱해서 1이 되는 수니까 x는 1의 세제곱근이에요.

xn = a일 때
x는 a의 n 제곱근
(a는 실수, n은 2 이상의 자연수)

다음을 구하여라.
(1) -1의 세제곱근     (2) 81의 네제곱근

(1) x3 = -1
x3 + 1 = 0
(x + 1)(x2 - x + 1) = 0
-1의 세제곱근은 -1, 삼차방정식 허근 - 근의 공식

(2) x4 = 81
x4 - 81 = 0
(x2 + 9)(x2 - 9) = 0
(x + 3i)(x - 3i)(x + 3)(x - 3) = 0

81의 네제곱근은 ±3, ±3i

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정리해볼까요

거듭제곱근

  • xn = a일 때
    x는 a의 n 제곱근
    (a는 실수, n은 2 이상의 자연수)
  • a의 제곱근, 세제곱근, 네제곱근, …을 통틀어서 거듭제곱근
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