2를 네 번 더하면 2 + 2 + 2 + 2고 이걸 곱하기 기호를 쓰면 2 × 4로 쓸 수 있어요. 곱하기는 똑같은 수를 여러 번 더하는 걸 간단히 표현할 수 있지요.

2 + 2 = 2 × 2
2 + 2 + 2 = 2 × 3
2 + 2 + 2 + 2 = 2 × 4

그러면 2를 네 번 곱한다고 생각해보세요. 2 × 2 × 2 × 2에요. 이것도 간단하게 표현할 방법이 있으면 좋겠죠? 물론 쉽게 쓰는 방법이 있어요

이 글에서는 곱하기를 여러 번 했을 때 좀 더 쉽고 간단하게 표시하는 방법인 거듭제곱에 대해서 공부할 거예요.

거듭제곱

거듭제곱

우선, 2를 4번 곱한 걸 부르는 이름이 있겠죠? 똑같은 수나 문자를 여러 번 곱한 걸 거듭제곱이라고 해요. 3을 3번 곱하거나 4를 10번 곱하는 것도 거듭제곱이라고 하지요.

2 × 2 = 22
2 × 2 × 2 = 23
2 × 2 × 2 × 2 = 24

위 단락의 마지막 줄 오른쪽을 보면 4는 2보다 조금 더 위에 작게 썼지요? 거듭제곱은 이렇게 표현합니다.

(곱하는 수)는 보통 크기로 쓰고, (곱한 횟수)는 (곱하는 수)의 오른쪽 위에 작게 써요.

거듭제곱: 같은 수나 문자를 거듭하여 곱한 것
같은 수를 여러 번 더하기 → (더하는 수) × (더한 횟수)
같은 수를 여러 번 곱하기 → (곱하는 수)(곱한 횟수)

만약에 3을 5번 곱하면 3 × 3 × 3 × 3 × 3이죠. 이걸 거듭제곱으로 써보면 3이 곱하는 수고, 5가 곱한 횟수니까 35으로 쓸 수 있는 거예요.

숫자를 여러 번 곱한 것뿐 아니라 문자를 여러 번 곱한 것도 표시할 수 있어요. a라는 문자를 10번 곱해볼까요? 여기서 곱하는 문자는 a이고, 곱한 횟수는 10이니까 a10이라고 쓸 수 있어요.

거듭제곱으로 표시했을 때 아래에 있는 (곱한 숫자)를 이라고 부르고, 오른쪽 위에 있는 (곱한 횟수)를 지수라고 불러요.

거듭제곱
(곱하는 수)(곱한 횟수) → 밑지수

위 그림에서는 밑이 2고 지수가 4죠.

35에서는 밑이 3이고, 지수가 5에요.

24은 2의 4제곱이라고 읽어요. 310은 3의 10제곱이라고 읽고요. 그리고 52, 62처럼 2제곱은 5의 2제곱, 6의 2제곱이 아니라 2를 빼고 그냥 5의 제곱, 6의 제곱이라고 읽어요.

다음을 거듭제곱으로 나타내어라.
(1) 5 × 5 × 5 × 5
(2)10 × 10 × 10 × 10× 10

(1)은 5를 4번 곱했으니까 54이고, (2)번은 10을 5번 곱했으니까 105이에요.

분수와 소수의 거듭제곱

분수와 소수의 거듭제곱에서는 괄호를 사용해요.

예를 들어서 로 쓰면 마치 분자인 2만 3번 곱하고 분모 5는 곱하지 않은 거라고 오해할 수 있어요. 그래서 괄호로 묶어서 으로 써야 합니다.

소수도 마찬가지예요. 0.1 × 0.1 × 0.1 = 0.13으로 쓸 수 있어요. 소수에서는 괄호를 쓰지 않아도 틀린 건 아니에요. 하지만 괄호를 쳐주면 식이 조금 더 명확해지죠. 0.13으로 쓰지 말고, (0.1)3으로 쓰도록 버릇을 들이세요.

여러 수의 거듭제곱

하나의 수만 여러 번 곱한 게 아니라 여러 수가 여러 번 곱해져 있는 경우를 볼까요? 여러 수가 섞여 있을 때는 같은 수끼리만 거듭제곱으로 표시해요. 서로 다른 숫자끼리는 거듭제곱으로 표현할 수 없어요.

3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5에서 3이 곱해진 부분과 5가 곱해진 부분을 나눠보죠. 그러면 3을 4번 곱한 것과 5를 2번 곱한 것으로 나눌 수 있죠? 각각을 거듭제곱으로 표현해서 34 × 52으로 쓸 수 있어요.

주의해야 해요. 3과 5가 곱해져 있다고 35 이렇게 쓰면 안 돼요.

a × a × a × b ×b = a3 × b2으로 쓸 수 있지요.

다음을 거듭제곱으로 나타내어라.
(1) 4 × 4 × 4 × 4 × 10 × 10 × 10
(2)

(1)번은 4가 4번, 10이 3번 곱해져 있으니까 44 × 103

(2)번은 9/10가 3번, 0.5가 2번 곱해져 있으니까 

정리해볼까요

거듭제곱

  • 같은 수나 문자를 여러 번 곱한 것
  • 밑: 곱해지는 문자나 수
  • 지수: 곱해지는 횟수
  • 분수와 소수는 괄호를 쓴다.
  • 여러 숫자와 문자가 섞여 있을 때: 같은 문자와 숫자만 따로 거듭제곱으로 표현
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