수학방

중학교 수학 교육의 가장 정점에 있는 공식은 누가뭐라해도 이차방정식에서 쓰는 근의 공식이죠. 피타고라스의 정리와 함께요.

이차방정식 중 인수분해를 할 수 있는 경우라면 굳이 근의 공식을 사용하지 않아도 되지만, 그렇지 않다면 근의 공식을 필수로 써야합니다.

그런데, 인수분해되지 않는 이차방정식에서 근의 공식이 아닌 다른 방법으로 근을 구할 수 있어 소개하려고 합니다.

이차방정식을 푸는 새로운 방법

[주말N수학]'아듀~근의 공식' 2차 방정식 쉽게 푸는 새 방법

근의 공식은 완전제곱식을 이용해서 근을 구하는 방법으로 계수를 정해진 위치에 대입, 계산해서 해를 구할 수 있게 한 공식이에요.

그런데 위 글에서 소개한 방법은 두 근과 계수와의 관계, 두 근의 평균과 곱을 이용해서 푸는 방법입니다.

위 글에서 소개한 x² - 2x - 24 = 0를 다시 한 번 풀어볼까요?

두 근을 α, β라고 해보죠.

근과 계수와의 관계에 따라 두 근의 합 α + β = -(-2) = 2예요.

두 근의 평균은 = 1이고요.

두 근은 평균에서 같은 값만큼 차이가 나므로 이 차이를 u라고 하면 α = 1 + u, β = 1 - u라고 할 수 있어요.

근과 계수와의 관계에 따라 두 근의 곱 α  × β = -24예요.

(1 + u)(1 - u) = -24
1 - u² = -24
u² = 25
u = ±5

1) u = 5일 때,

α = 1 + 5 = 6
β = 1 - 5 = -4

2) u = -5일 때,

α = 1 - 5= -4
β = 1 - (-5) = 6

u의 부호와 상관없이 두 근은 -4과 6으로 같아요.

x² - 2x - 24 = 0
(x - 6)(x + 4) = 0
x = -4 or 6

인수분해해서 구한 값과 같죠? 계산을 간단히 하려고 인수분해가 되는 식을 예제로 했는데, 인수분해가 되지 않는 식도 같은 방법으로 해를 구할 수 있어요.

다시 한 번 정리해 보죠.

1. 근과 계수와의 관계를 이용해서 두 근의 합을 구한다.
2. 두 근의 평균을 구하고, 평균을 이용해서 두 근을 나타낸다.
3. ②에서 구한 두 근의 곱과 근과 계수와의 관계를 이용해서 구한 두 근의 곱이 같다는 등식을 세워 푼다.
   (이 식 역시 이차방정식이긴 하지만 제곱근을 이용해서 풀 수 있습니다.)
4. ③에서 구한 값을 ②의 근을 나타내는 식에 대입하여 두 근을 구한다.

위 과정을 일반적인 이차방정식에서 사용할 때 어떻게 되는지 해봤어요.

이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 두 근을 α, β라고 할 때

1. 근과 계수와의 관계를 이용해서 두 근의 합을 구한다.

근과 계수와의 관계에 따라 두 근의 합 α + β = 죠.

2. 두 근의 평균을 구하고, 평균을 이용해서 두 근을 나타낸다.

두 근의 평균은 이므로 α =  + u, β =  - u로 나타낼 수 있어요.

3. ②에서 구한 두 근의 곱과 근과 계수와의 관계를 이용해서 구한 두 근의 곱이 같다는 등식을 세워 푼다.

근과 계수와의 관계에 따라 두 근의 곱은 α + β =

α × β = 

4. ③에서 구한 값을 ②의 근을 나타내는 식에 대입하여 두 근을 구한다.

α =  + u = 

β =  - u =

근의 공식과 다른 형태의 공식이 나올 줄 알았는데, 결과는 기존의 근의 공식과 같네요.

즉, 이 방법은 이차방정식을 푸는 새로운 방법, 근의 공식을 유도하는 새로운 방법일 뿐 근의 공식과 직접 비교할 수 있는 관계는 아니에요. 오히려 이제까지 해왔던 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이법과 비교되는 거예요.

이차방정식을 푸는 새로운 방법이 나왔으니 정말로 이 내용이 교과서에 실릴 지 지켜봐야겠어요. 당연한 얘기지만 이 내용이 실린다고 해서 근의 공식이 교과서에서 빠지는 일은 없을 거예요. 어쩌면 유도 과정이 달라질 수도 있고, 두 방법이 모두 다 실릴 수도 있고요.

두 방법을 직접 해보신 여러 분은 어떤 방법이 더 쉽나요?

함께 보면 좋은 글

[중등수학/중3 수학] - 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이
[중등수학/중3 수학] - 근의 공식, 근의 공식 유도, 짝수 공식

오답 노트 만들기는 비교적 많이는 하는 학습법이라서 다들 아실텐데요, 놓치지 쉬운 부분이 하나 있어요.

"오답"이라는 단어에 집중하다보니까 그 진짜 의미를 놓치는 거죠.

문제집에서 문제를 풀고 채점을 하는데, 답이 맞았는지 틀렸는지만 확인하죠. 그러면 안되요. 맞은 문제든 틀린 문제든 답안지의 풀이를 보고, 내 풀이법과 비교해 봐야 해요.

그래서 내 풀이법이 맞는지 틀린지, 틀렸다면 어디가 틀렸는지, 내 풀이법에 오류가 없더라도 답안지의 풀이법이 더 쉽고 간단한지 등을 비교해보는 거죠.

오답 노트 만들기의 핵심

결과만 놓고 틀린 문제만 골라서 따서 오답 노트를 만드는데요, 여기서 중요한 건 틀린 문제가 아니라 모르는 문제로 오답 노트를 만들어야 한다는 거예요.

틀린 문제, 맞은 문제로 구분짓다 보면 문제가 생기는데요.

예를 들어서 공식도 다 맞고, 대입도 잘 했는데, 단순한 계산을 잘못하거나 착각해서 틀린 문제가 있을 수 있어요. 덧셈을 잘못했다던가, A가 얼마인지 물었는데, 답을 B를 골랐다든가 하는 문제요.

그런 문제는 아는 문제예요. 오답 노트에 적을 이유가 없어요. 오답 노트를 만드는 건 오답 노트를 만드는 과정에서 그리고 나중에 이 노트를 보면서 복습을 하려는 건데요. 이미 아는 문제를 뭐하러 또 시간 들여서 공부하나요? 그건 시간 낭비일 뿐이에요.

반대로 찍어서 맞은 문제, 풀이를 해놓고도 긴가민가했는데 정답은 맞은 문제들은 맞혔지만 모르는 문제예요. 오답 노트에 적어야 해요.

이런 문제를 안 적으면 나중에 똑같은 유형이 나왔을 때 다시 같은 방법으로 맞는 건 거의 불가능하죠. 그래서 반드시 복습이 필요한 문제예요.

핵심은 오답 노트는 답이 틀린 문제를 적는 게 아니라 답을 구하는 풀이 과정을 모르는 문제를 적는다는 거죠.

그리고 오답 노트를 만들 때, 내가 어디에서 왜 틀렸는지를 표시해 두세요.

공식에 대입하는 과정에서 틀렸는지, 나온 결과를 해석하는 과정에서 틀렸는지 등이요. 

함께 보면 좋은 글

가장 좋은 공부법은 나에게 맞는 공부 방법입니다.
수학 공부 방법 - 난이도별 학습
공부방법 소개 - 공부는 간식 먹듯이
수포자를 위한 책이 나왔네요.

사교육 걱정없는 세상이라는 단체에서 수포자들을 위한 소책자를 발간했습니다. 웃어라. 수포자!이라는 책으로 수포자들에게 수학을 어떤 방향으로 어떻게 공부해야 하는지 큰 그림을 그릴 수 있도록 도와주는 내용이에요. 소책자라서 구체적인 방법까지 들어있진 않고, 담론 수준이긴 하지만 무시할 만한 내용은 아닙니다.

현직 수학 교사와 학원 원장, 강사, 수학과 교수 등 여러 사람이 함께 만든 책이라서 내용은 의심할 필요가 없어요. 학생들이나 학부모님들이 꼭 읽어봤으면 하는 마음에 소개해봅니다.

아래는 책의 주요 내용입니다.

1. 학원에 보냈더니 수학 성적이 오르던데요?
2. 수학은 양이 많고 어려운 과목이라 선행학습이 필요한 것 아닌가요?
3. 초등학교 입학 전 두 자리 계산까지는 미리 해놔야 한다던데요?
4. 스토리텔링 수학을 대비하려면 학원에 가야 한다 덴데요?
5. 초등학교 때 연산 훈련을 많이 해놔야 시험을 잘 볼 수 있잖아요?
6. 수학은 한 번 뒤처지면 따라잡을 수 없다던데요?
7. 수학을 잘하면 영재교육원이나 영재학교에 보내야 한다면서요?
8. 중학교 수학부터는 부모도 손을 못 댄다면서요?
9. 수학은 속도전이라 공식 암기가 필수라던데요?
10. 고등학교 수학만큼은 선행학습 안 하면 안 된다던데요?
11. 수학 문제집을 여러 권 풀어봐야 입시에서 유리하잖아요?
12. 수학을 못 해도 살아가는 데 별 불편이 없던데요?

개인적으로도 책 내용은 구구절절이 옳은 얘기라고 생각합니다. 하지만 현실에서 적용하기에는 부담스러운 방법들이죠. 방법이 나빠서가 아니라 이제까지 우리가 해왔던 익숙한 방식이 아니거든요. 모두가 다 알고 있는 건데 실천하기가 조금 힘들죠.

책 제목처럼 본인이 수포자거나 수학에 자신이 없는 학생이라면, 수학 성적이 시원치 않은 자녀가 있는 학부모님이라면 꼭 한 번 읽어봤으면 좋겠습니다. 책 속에 있는 내용을 실천해 봐도 절대로 손해 보지 않을 겁니다. 하나 주의할 건 저 내용이 옳다고 해도 모든 학생에게 100% 다 옳다고 할 수는 없겠지요. 학생에 따라 공부 환경과 학습 목표에 따라 맞지 않을 수도 있으니 책 내용을 꼼꼼히 잘 읽어보고 판단하세요.

사교육 걱정없는 세상에서 여러 정보를 얻을 수 있으니까 가입하셔도 좋을 듯하네요.

"웃어라, 수포자!"는 전자책으로 볼 수도 있고, 종이책으로 살 수도 있어요. 어떤 형태로든 한 번쯤 꼭 읽어보세요.

전자책 바로 보기

지주연이 알려주는 인도 베다수학 증명에서 했던 글에 내용을 조금 더 추가했어요. 십의 자리가 같은 두 자리 자연수의 곱셈, 일의 자리 숫자가 같은 두 자리 자연수의 곱셈이었는데, 여기에는 한 가지씩 조건을 더 추가됐을 때, 베다수학을 이용해서 곱셈을 더 빨리할 수 있거든요.

증명하는 과정은 조금 귀찮을 수 있지만, 결론만 보면 정말 간단하니까 심심할 때 읽어보세요.

베다수학으로 곱셈 빨리하기

십의 자리 숫자가 같고, 일의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱

77 × 73을 그림으로 설명해볼까요?

원리는 기본적으로 앞서 지주연이 알려주는 인도 베다수학 증명했던 것과 같아요. 사각형 하나를 옮겨서 큰 사각형 1개, 작은 사각형 1개의 넓이를 이용하는 거지요. 그런데 여기서 일의 자리 숫자 3과 7을 더하면 10이잖아요. 그래서 10의 자릿수를 하나 올려주는 거예요. 70 + 7 + 3 = 70 + 10 = 80

사각형의 가로 길이가 간단해지는 효과를 얻었어요.

이번에는 그림이 아닌 수식을 이용해서 증명해보죠.

십의 자리가 같고 일의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수를 A = 10x + y, B = 10x + z(x ≠ 0인 자연수, y, z는 자연수, y + z = 10)이라고 해보죠.

AB
= (10x + y)(10x + z)
= 10²x² + 10xy + 10zx + yz
=10²x² + 10x(y + z) + yz
= 10²x² + 10²x + yz                   (∵y + z = 10)
= 10²x(x + 1) + yz

이게 식으로 증명하려니 조금 복잡해 보이는데, 제일 아래 줄만 보죠.

두 수 중 한 수의 십의 자리에 1을 더해서 다른 수의 십의 자리와 곱하고 거기에 두 수의 일의 자리 숫자를 연결 또는 합체(?)하면 된다는 거예요.

52 × 58을 계산해 볼까요? 두 수의 십의 자리 숫자가 5로 같고, 일의 자리 숫자를 더하면 10이죠? 2 + 8 = 10

십의 자리 숫자 5에 1을 더한 6에 십의 자리 숫자 5를 곱하면 6 × 5 = 30이에요. 여기에 일의 자리를 곱한 2 × 8 = 16을 연결하면 52 × 58 = 3016을 얻을 수 있어요.

한 단계씩 나눠서 보죠.

1. 십의 자리 숫자 5에 1을 더해줍니다. 5 + 1 = 6
2. ①의 결과에 숫자가 같은 십의 자리 숫자를 한 번 곱해줍니다. 6 × 5 = 30
3. 숫자가 다른 일의 자리 숫자를 곱해요. 2 × 8 = 16
   
4. ②, ③의 결과를 연결합니다. 30 & 16 = 3016

일의 자리 숫자가 같고, 십의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱

이번에는 일의 자리가 같고 십의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱을 알아보죠.

두 자연수를 A = 10x + z, B = 10y + z(x, y ≠ 0인 자연수, z는 자연수, x + y = 10)이라고 해보죠.

AB
= (10x + z)(10y + z)
= 10²xy + 10zx + 10yz + z²
= 10²xy + 10z(x + y) + z²
= 10²(xy + z) + z²       (∵ x + y = 10)

중간은 복잡하니까 마지막 줄만 볼까요.

두 수의 십의 자리를 곱하고 거기에 일의 자릿수를 더해요. 그리고 일의 자릿수를 제곱해서 연결 또는 합체(?)하는 거죠.

37 × 77을 풀어보죠.

두 수의 십의 자리를 곱하면 3 × 7 = 21인데 여기에 일의 자리 7을 더하면 28이에요. (3 × 7 + 7) = 28. 여기에 일의 자릿수의 제곱 7 × 7 = 49를 연결하면 2849가 나와요.

한 단계씩 나눠서 보죠.

1. 서로 다른 십의 자리 숫자를 곱해줍니다. 3 × 7 = 21
2. ①의 결과에 숫자가 같은 일의 자리 숫자를 한 번 더해줍니다. 21 + 7 = 28
3. 숫자가 같은 일의 자리 숫자를 곱해요. 7 × 7 = 49
   
4. ②, ③의 결과를 연결합니다. 28 & 49 = 2849

다음 계산을 하여라.
(1) 81 × 89
(2) 19 × 99

(1)번은 십의 자리 숫자 같고, 일의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱이네요.

1. 십의 자리 숫자 8에 1을 더해줍니다. 8 + 1 = 9
2. ①의 결과에 숫자가 같은 십의 자리 숫자를 한 번 곱해줍니다. 9 × 8 = 72
3. 숫자가 다른 일의 자리 숫자를 곱해요. 1 × 9 = 09
4. ②, ③의 결과를 연결합니다. 72 & 09 = 7209

(2)번은 일의 자리 숫자가 같고, 십의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱이네요.

1. 서로 다른 십의 자리 숫자를 곱해줍니다. 1 × 9 = 9
2. ①의 결과에 숫자가 같은 일의 자리 숫자를 한 번 더해줍니다. 9 + 9 = 18
3. 숫자가 같은 일의 자리 숫자를 곱해요. 9 × 9 = 81
4. ②, ③의 결과를 연결합니다. 18 & 81 = 1881

함께 보면 좋은 글

[수학 공부방법] - 지주연이 알려주는 인도 베다수학 증명, 설명
[수학 공부방법] - 베다수학으로 곱셈 빨리하기

보통 한 단원을 공부할 때는 앞에서 공부하지 않았던 새로운 내용을 공부해요. 그런데 그게 완전히 생뚱맞게 새로운 내용은 아니에요. 앞에서 공부했던 것에 조금 추가하는 거지요. 그런데 많은 학생은 그 연관관계를 이해는 걸 상당히 어려워하죠.

이 글에서는 방정식이라는 식이 어떻게 바뀌는지 알아볼 거예요. 그러면 그 식의 관계에 대해서 더 잘 이해할 수 있고, 문제를 풀거나 내용을 이해하는 데 훨씬 더 도움이 되지요. 아주 중요한 내용입니다. 꼭 읽어보세요.

방정식의 변화

공부하는 식의 종류에는 여러 가지가 있어요. 방정식, 부등식, 함수 등이 있죠.

방정식을 어떤 순서로 공부했나요? 중학교 1학년 때는 일차방정식, 2학년 때는 연립방정식, 3학년 때는 이차방정식, 고등학교 1학년 때는 삼차, 사차 등의 고차방정식과 연립이차방정식을 공부해요.

학년이 올라갈수록 차수가 늘어나거나 식의 개수가 늘어나죠. 그래서 문제를 푸는 방법도 어려워져요. 그런데 이게 단순히 똑같은 범주의 방정식인 건만은 아니에요.

일차방정식을 하나 풀어보죠.

5 + 3x = x + 7
3x - x = 7 - 5
2x = 2
x = 1

등식의 성질을 이용해서 일차방정식을 풀었어요.

이번에는 연립방정식을 풀어보죠.

위의 식을 ①식, 아래 식을 ②식이라고 하면,

①식 + ②식
2x = 8
x = 4

①식 - ②식
2y = 2
y = 1

두 식을 더했더니 2x = 8이라는 식이 나왔죠? 이 식은 이 식은 미지수가 x뿐인 일차방정식이에요. 미지수가 2개인 연립방정식의 두 식을 더했더니 미지수가 1개인 일차방정식으로 식이 바뀌었어요.

두 식을 빼면 2y = 2라는 y에 대한 일차방정식이 나와요. 마찬가지로 미지수가 2개인 연립방정식이 미지수가 1개인 일차방정식으로 바뀌었죠.

두 식을 더하거나 빼서 연립방정식을 일차방정식으로 바꾸는 게 연립방정식 풀이의 핵심이에요.

이차방정식도 풀어보죠.

x² - 5x + 6 = 0
(x - 2)(x - 3) = 0

x - 2 = 0 → x = 2
x - 3 = 0 → x = 3

x² - 5x + 6 = 0를 인수분해하면 (x - 2)(x - 3) = 0인데, 좌변이 일차식 두 개의 곱으로 되어 있어요. 이 일차식은 일차방정식이고, 여기서 미지수 x의 값을 구했어요.

이차방정식을 인수분해하니까 일차방정식 2개 되었죠? 차수가 2차에서 1차로 낮아졌어요.

인수분해해서 이차방정식을 일차방정식으로 바꾸는 게 이차방정식 문제 푸는 방법이죠. 근의 공식을 이용하는 건 제외로 하고요.

고차방정식과 연립이차방정식은 예시는 생략하죠. 삼차, 사차의 고차방정식도 인수분해를 하죠? 그러면 삼차방정식이 이차방정식이 되고, 이 이차방정식은 다시 바로 위에서 했던 것처럼 인수분해해서 일차방정식 2개로 바꾸는 거죠. 결국, 삼차방정식은 일차방정식 3개로 바꿔서 풀어요.

• 일차방정식은 그대로 풀고요.
• 연립방정식은 식을 더하고 빼서 일차방정식으로 모양을 바꿔서 풀어요.
• 이차방정식은 인수분해를 해서 일차방정식으로 모양을 바꿔서 풀어요.
• 삼차방정식은 인수분해해서 이차방정식으로 모양을 바꾸고, 이 이차방정식은 인수분해를 한 번 더 해서 일차방정식으로 모양을 바꿔서 풀어요.
• 사차, 오차도 계속 이런 식으로 풀죠.

우리가 문제를 푸는 건 그냥 이차방정식을 풀고, 연립방정식을 푸는 게 아니라 식의 형태를 우리가 기존에 알고 있는 식(일차방정식)으로 바꾸는 거예요.

연립방정식에서 두 식을 더하고 빼는 건 일차방정식으로 바꾸기 위해서예요. 이차방정식에서 인수분해를 하는 이유는 바로 인수분해를 해야 일차방정식으로 모양을 바꿀 수 있기 때문이죠. 인수분해를 왜 해야 하는지, 연립방정식의 두 식을 왜 더하고 빼야 하는지 이유를 알겠죠?

즉, 그 단원에서 실제로 공부하는 건 일차방정식으로 바꾸는 방법뿐이에요. 그 이후 과정인 일차방정식을 푸는 건 이미 알고 있는 거고요.

그러니까 방정식을 푸는 건 기본적으로 일차방정식의 풀이법 + 일차방정식으로 변환법이에요.

이곳 수학방에서 공부를 했던 분이라면 글 중간마다 차수가 낮아지고 미지수가 줄어드는 걸 설명한 부분이 꽤 많다는 걸 아실 거예요. 바로 일차방정식으로의 변환법을 다른 말로 하면 미지수의 개수와 식의 차수를 낮추는 방법이거든요.

일차방정식 따로 이차방정식 따로 있는게 아니라 그들의 관계를 이해하고 식이 어떻게 바뀌는지 이해하면 공부하는게 훨씬 더 쉬워질 거예요.

물론 이건 방정식에만 적용되는 건 아닙니다. 함수에도 다른 식에도 적용되는 거에요.

함께 보면 좋은 글

수학 잘하는 법 - 자투리 시간을 이용하라
공부방법 소개 - 공부는 간식 먹듯이
수학 공부 방법 - 난이도별 학습

지주연이 알려주는 인도 베다수학 증명, 설명에서 베다수학이 성립하는 이유를 도형과 수식을 이용해서 증명해봤어요. 이제는 이 베다수학을 이용해서 실제 계산을 해보면서 어떻게 적용하는지를 알아보죠.

베다수학은 이제까지 해보지 않은 새로운 방식이라서 약간 낯설긴 하지만 익숙해지면 암산을 빨리할 수 있는 괜찮은 방법이에요. 다만 모든 경우에 다 활용할 수 있는 건 아니고 특별한 조건을 갖추었을 때만 사용할 수 있으니 그 점까지 함께 알아두시면 될 것 같네요.

베다 수학 실전 활용

베다수학을 이용해서 곱셈할 수 있는 경우는 몇 가지가 있는데요. 여기서는 십의 자리 수가 같은 두 자리 자연수의 곱, 일의 자리 수가 같은 두 자리 자연수의 곱 이렇게 두 가지 경우를 알아보겠습니다.

십의 자리 숫자가 두 자리 자연수의 곱

십의 자리 숫자가 7로 같은 두 수의 곱을 그림으로 표시해봤어요.

두 자릿수 두 개의 곱이니까 총 4개의 숫자가 있는데요.

1. 숫자가 같은 십의 자리 수 하나를 뺀 나머지 수를 서로 더해줍니다. 77 + 3 = 80
2. ①의 결과에 값이 같아서 ①에서 뺐던 십의 자리 숫자를 곱해요. 80 × 70 = 5600
3. 십이 자리는 같으니까 그냥 두고 서로 다른 일의 자리 숫자를 곱해요. 7 × 3 = 21
4. ②, ③의 결과를 더 해줍니다. 5600 + 21 = 5621

일의 자리가 같은 두 자리 자연수의 곱

이번에는 일의 자리가 같은 두 자리 자연수의 곱을 알아보죠.

1. 숫자가 같은 일의 자리 수를 하나 뺀 나머지 수들만 서로 더해줍니다. 37 + 70 = 107
2. ①의 결과에 값이 같아서 ①에서 뺐던 일의 자리 숫자를 곱해요. 107 × 7 = 749
3. 일의 자리는 같으니까 그냥 두고 서로 다른 십의 자리 숫자를 곱해요. 30 × 70 = 2100
4. ②, ③의 결과를 더 해줍니다. 749 + 2100 = 2849

위에서 설명한 베다수학을 이용해서 다음 값을 구하여라.
(1) 57 × 53
(2) 86 × 46

(1)번은 십의 자리가 같은 두 자리 자연수의 곱이네요.

1. 숫자가 같은 십의 자리 수 하나를 뺀 나머지 수를 서로 더해줍니다. 57 + 3 = 60
2. ①의 결과에 값이 같아서 ①에서 뺐던 십의 자리 숫자를 곱해요. 60 × 50 = 3000
3. 십이 자리는 같으니까 그냥 두고 서로 다른 일의 자리 숫자를 곱해요. 7 × 3 = 21
4. ②, ③의 결과를 더 해줍니다. 3000 + 21 = 3021

(2)번은 일의 자리가 같은 두 자리 자연수의 곱이고요.

1. 숫자가 같은 일의 자리 수를 하나 뺀 나머지 수들만 서로 더해줍니다. 86 + 40 = 126
2. ①의 결과에 값이 같아서 ①에서 뺐던 일의 자리 숫자를 곱해요. 126 × 6 = 756
3. 일의 자리는 같으니까 그냥 두고 서로 다른 십의 자리 숫자를 곱해요. 80 × 40 = 3200
4. ②, ③의 결과를 더 해줍니다. 756 + 3200 = 3956

함께 보면 좋은 글

지주연이 알려주는 인도 베다수학 증명, 설명
[수학 공부방법] - 베다수학으로 곱셈하기

뇌섹남들이 나오는 tvN 문제적 남자를 보는데, 탤런트 지주연이 나와서 인도 베다수학을 알려주더라고요. 전에 마이 리틀 텔레비전에서도 지주연이 한 번 얘기했던 적이 있고요.

저도 베다수학이 있다는 정도만 알고 있었는데, TV를 통해서 보니까 꽤 재미있더라고요. 그래서 그림이 아닌 다른 방식으로 한 번 설명해볼까 합니다.

기본적으로 곱셈은 바로 곱셈을 해도 되고, 중학교에서 공부하는 곱셈공식을 이용해서 풀 수도 있죠. 지주연이 알려주는 베다수학도 일종의 곱셈공식이라고 할 수 있어요.

인도 베다수학 증명

십의 자리 숫자가 같을 때

77 × 73을 이용해서 간단히 증명도 해주었습니다.

한 변의 길이가 77이고 다른 변의 길이가 73인 사각형의 넓이를 이용한 방법인데요. 우리가 일반적으로 계산하는 방식은 아래 그림에서 네 부분으로 나누어진 네 사각형의 넓이를 구해서 더하는 방식이죠.

77 × 73 = 7 × 3 + 70 × 3 + 7 × 70 + 70 × 70

그런데 인도 베다수학에서는 밑에 있는 사각형 하나를 옆으로 옮겨서 사각형을 두 개로 만들고 이 두 사각형의 넓이를 더해서 계산하네요.

77 × 73 = (77 + 3) × 70 + 7 × 3

따라서 사각형을 옮겨서 두 개의 큰 사각형으로 만들어야 하므로 이 방법은 십의 자릿수가 같아야 가능한 방법입니다. 박경이 얘기했던 것처럼요. 공식이 조금 달라지긴 하지만 일의 자리 숫자가 같을 때도 같은 원리로 가능합니다.

십의 자릿수가 같은 두 자리 자연수 A, B가 있다고 해보죠. 그렇다면 십진법의 전개식에 따라 A = 10x + y, B = 10x + z (x는 자연수, y, z는 0 또는 자연수)로 쓸 수 있죠.

AB
= (10x + y)(10x + z)
= 10²x² + 10xy + 10zx + yz
= 10x(10x + y + z) + yz
= 10x(A + z) + yz          (∵ A = 10x + y)

마지막 줄을 보면 공식을 얻을 수 있죠. 두 수 중 한 수에 다른 수의 일의 자릿수를 더해서 십의 자리를 곱하고, 거기에 일의 자리만 곱한 값을 더해주는 거예요.

77 × 73을 다시 풀어보죠.

한 수 77에 다른 수 73의 일의 자리를 더하면 77 + 3 = 80이잖아요. 이 80에 십의 자리인 70을 곱하면 5600이고, 여기에 두 수의 일의 자리를 곱한 7 × 3 = 21을 더하면 최종적으로 5621을 얻을 수 있어요.

일의 자리 숫자가 같을 때

이번에는 일의 자릿수가 같은 두 자리 자연수의 곱을 보죠.

일의 자릿수가 7로 같은 두 자리 자연수 37 × 77을 사각형의 넓이를 이용해서 나타냈어요.

한 사각형을 옆으로 옮기면 아래 그림처럼 바뀌고, 전체 넓이는 윗부분의 사각형의 넓이와 사각형 세 개가 합쳐진 큰 사각형의 넓이의 합으로 나타낼 수 있어요.

일의 자리가 같은 두 자리 자연수는 A = 10x + z, B = 10y + z (x, y는 자연수, z는 0 또는 자연수)로 나타낼 수 있죠?

AB
= (10x + z)(10y + z)
= 10²xy + 10zx + 10yz + z²
= 10²xy + z(10x + 10y + z)
= 10²xy + z(10x + B)       (∵ 10y + z = B)

마지막 줄의 공식을 말로 풀어보죠. 두 수 중 한 수에 다른 수의 십의 자리를 더해서 일의 자릿수를 곱하고, 거기에 십의 자리를 곱한 값을 더해줘요.

37 × 77을 풀어보죠.

한 수 37에 다른 수 77의 십의 자리를 더하면 37 + 70 = 107이고 여기에 일의 자릿수인 7을 곱하면 107 × 7 = 749이에요. 그다음 두 수의 십의 자리를 곱한 30 × 70 = 2100을 더하면 2849가 나와요.

글로 설명하니까 조금 복잡해 보일 수 있지만, 연습을 몇 번만 하면 정말 암산으로 쉽게 계산을 할 수 있을 것 같네요.

다음글 지주연이 알려주는 베다수학 2 - 실전편에서는 증명이 아니라 실제 식의 계산을 그림으로 표현해 보죠.

함께 보면 좋은 글

지주연이 알려주는 베다수학 2 - 실전편
조선시대 제곱근 구하는 방법 - 홍길주의 숙수념

공부 방법인데요. 흔히 하는 공부방법입니다. 하지만 접근하는 개념을 살짝 바꾸면 훨씬 더 효과적으로 이 방법을 사용할 수 있어요. 바로 복습과 반복 학습입니다.

보통 복습은 수업 시간에 공부했던 걸 한 번 더 공부하는 거로 알고 있어요. 반복 학습은 공부했던 걸 여러 번 반복해서 공부하는 거고요. 사실 반복 학습이 복습이죠.

그런데 복습, 반복 학습도 방법이 있어요. 복습과 반복 학습을 조금 더 효율적으로 하는 방법입니다.

반복학습은 간식처럼

이렇게 한 번 비유해볼까요?

하루 세끼 밥만 먹는다고 해보죠. 간식은 전혀 먹질 않고요. 아침 먹고 점심시간이 다가오면 배가 고프겠죠. 점심 먹고 나서 저녁 시간이 되면 배가 고플 거고요. 배가 부르다가 점점 배가 고파지고, 다시 배부르고 배고프고 이런 과정이 반복되죠.

그런데 그게 아니라 아침을 먹어요. 그리고 한 시간에 한 번씩 간식을 먹는다고 해보죠. 그러면 점심시간에는 배가 별로 안 고프니까 많이 먹지 않아도 배가 부르겠죠. 오후에도 한두 시간마다 계속 간식을 먹어요. 그러면 저녁에 배가 별로 안 고프니까 밥을 많이 먹지 않아도 돼요. 온종일 배가 고플 일이 없어요. 이 방법으로 먹다보면 금세 살이 찔 겁니다. 그죠?

공부도 이렇게 하는 거예요.

보통 우리 어떻게 공부하나요? 학원에서 선행으로 공부하고, 학교에서 수업 듣고 그리고 내내 잊었다가 시험시간에 한 번 공부하죠.

아침 식사 - 학원 선행
점심 식사 - 학교 수업
저녁 식사 - 시험공부

이렇게 하면 수업들을 때, 시험 대비할 때 반짝 알았다가 수업 며칠 지나거나 시험 끝나면 내 머릿속에서 bye bye죠. 문제는 시험공부를 할 때 처음부터 다시 시작해야 해요. 마치 오늘 처음 밥 먹는 것처럼, 마치 한 번도 공부한 적이 없는 단원인 것처럼요. "이런 것도 배웠었나?"하는 생각 다들 해봤죠?

만약에 처음에 공부할 때, 학원이든 학교든 제대로 한 번 공부했다고 생각해보죠. 그리고 일주일이나 두 주일에 한 번씩 계속해서 복습해요. 마치 한 시간에 한 번씩 간식 먹듯이요. 그러면 나중에 시험 공부할 때 훨씬 더 쉽게 공부할 수 있어요.

복습할 때는 처음 수업을 들었을 때만큼 많은 시간을 투자할 필요가 없어요. 간식을 식사보다 간단하게 먹는 것처럼 복습도 간단히 공부할 수 있어요.

복습은 내가 알고 있는 걸 다시 확인하기도 하지만 내가 알고 있는 걸 잊어버리지 않게 해줘요. 사람의 기억은 시간이 지나면 자연히 사라지고 없어지는데, 복습하면 머리에서 없어지려 할 때 머리에서 빠져나가려는 기억을 다시 붙잡아줘요.

머릿속에 공부한 내용을 꽉 채운 다음에 그게 빠져나가지 않게 하는 게 바로 반복 학습의 가장 큰 효과죠. 그러니까 기억이 완전히 사라지기 전에 해주면 좋아요.

보통은 복습하라고 하면 복습을 딱 한 번만 하고 말거든요. "지난주에 방정식 배웠으니까 오늘 복습해야지."로 끝나면 안 돼요.

"지지난 주에 방정식 배웠고, 지난 주에 복습 한 번 했으니까, 이번 주에도 복습하고, 다음 주에도 복습하고 그 다음 주에도 방정식 복습하고……" 이렇게 해야해요.

자주 하면 자주 할수록 머릿속에 남아있는 기억이 많으니까 굳이 오랜 시간 들여서 공부할 필요도 없죠.

처음 공부할 때 한 시간 공부하고 복습할 때 한 시간 공부하고, 반복 학습할 때 또 한 시간 공부하고 이건 복습이나 반복 학습이 아니에요. 시간 낭비일 뿐이에요.

복습이라고 해서 처음 복습할 때와 나중에 복습할 때 똑같은 시간을 들여서 공부하는 건 아주 비효율적이에요. "아, 내가 이걸 알고 있구나.! 잊어버리지 않았구나. 앞으로도 잊어버리지 말아야지." 하는 수준에서 끝내세요. 처음에 복습할 때는 한 시간 걸렸던 것도 몇 번 반복해보면 그 내용을 이해하고 외우는데 자연스럽게 40분, 30분, 20분, 10분으로 점점 시간이 줄어들어요. 그렇지 않고 계속해서 똑같이 한 시간씩 걸린다면 그건 이미 그 내용을 잊어버렸다는 뜻이니까 반복 간격을 더 줄이세요.

간식을 많이 먹으면 그건 식사고 하루 세끼가 아니라 하루 네끼, 하루 다섯끼가 되는 거예요.

• 간식은 많이 먹는 게 아니라 자주 먹듯이 반복 학습도 자주 조금씩
• 복습은 기억하기 위해서라 아니라 잊어버리지 않기 위해서
• 반복은 매번 같은 시간만큼, 같은 강도로 반복하는 게 아니라 잊어버리지 않았다는 걸 확인하고 앞으로도 잊어버리지 않을 정도만

"아! 나는 밥은 조금 먹는데, 살이 자꾸 쪄." 하는 친구들 보세요. 간식을 입에 달고 살죠? 그런 것처럼 학원에서, 학교 수업시간에, 시험 기간에 살짝 소홀히 해도 평소에 복습을 자주 했던 친구라면 몸에 살이 찌는 것처럼 머리에 학습한 내용이 자꾸자꾸 쌓일 겁니다.

함께 보면 좋은 글

[중등수학] - 수학 잘하는 법 - 자투리 시간을 이용하라
[중등수학] - 수학 공부 방법 - 난이도별 학습
[중등수학] - 가장 좋은 공부법은 나에게 맞는 공부 방법입니다.

수학을 잘하려면 머리를 아주 잘 써야 해요. 물론 머리를 아주 잘 쓰는 사람이라면 당연히 수학을 잘하겠지만요.

수학을 잘하는 방법의 하나를 소개합니다. 시간과 장소에 구애받지 않고 언제나 어디서나 하는 방법으로 최소한의 시간과 노력으로 확실한 효과를 거두는 방법입니다. 어쩌면 꼼수일 수도 있고 정공법일 수도 있는 수학 잘하는 방법이지요.

한 번쯤 시험삼아 해보고 효과가 확실하다면 자기만의 공부법으로 활용해보세요.

자투리 시간 이용해서 수학 공부하기

우리가 "공부한다"고 하면 책상에 앉아서 책 펴놓고 연습장에 쓰면서 하는 것만 공부라고 생각하는 고정관념이 있어요. 하지만 꼭 그렇게 해야만 공부를 하는 건 아니에요.

자기가 좋아하는 가수의 노래 가사를 외운다고 생각해보세요. 책상에 앉아서 앨범의 가사를 보면서 연습장에 한 줄씩 쓰면서 외우나요? 그렇지 않죠? 그냥 양치질하면서 책가방 싸면서 흥얼거리다 보면 어느 순간엔가 외워져 있죠. 혹시 중간에 모르는 가사가 있으면 거기 일단 뛰어넘고 다음 노래 부분을 부르죠. 모르는 부분의 가사는 나중에 시간이 될 때 찾아서 보고 외우면 되니까요. 공부도 그런 식으로 할 수 있어요.

등식의 성질을 외운다고 해보죠. 등식의 성질 1. 어쩌고저쩌고 …… 이렇게 종이에 써가면 외우지 마세요. 일단 등식의 성질의 개념에 대해서 이해만 하세요. 아주 정확하지 않더라도 대략적인 것 정도만 외워두세요. 이 정도는 학교, 학원 수업만 잘 들으면 할 수 있는 거예요.

그다음에 집에 오는 길에 버스에서 창밖 바라보면서 넋 놓고 앉아있다가 속으로 생각하는 거예요. "등식의 성질은 네 가지가 있는데, 첫 번째는 어쩌고, 두 번째는 ………" 이렇게 해서 생각이 나면 생각나는 대로 생각나지 않으면 생각나지 않는 대로 그냥 두세요. 만약에 첫 번째, 두 번째는 생각이 났는데, 세 번째, 네 번째는 생각이 안 났다고 해보죠. 괜찮아요. 두 개 외웠잖아요. 대신에 나는 세 번째, 네 번째는 생각나지 않았다는 것만 기억하고 있으면 돼요.

나중에 집에 가서 책을 펴요. 세 번째, 네 번째 성질이 뭔지 확인하는 거죠. 그리고 책을 덮어요. 머릿속으로 한 번 더 외워봅니다. 버스 안에서 등식의 성질을 외웠던 시간, 집에서 책을 펼쳐 확인하는 시간, 머릿속으로 한 번 더 외워보는 시간 다 합치면 1분 남짓한 시간이에요. 1분 남짓한 시간만 투자 보세요.

이런 과정을 몇 차례 하면 모르는 건 확실히 외워지고, 어설픈 표현으로 외웠던 성질도 자기만의 정제된 언어로 표현할 수 있을 정도도 확실히 정리되죠.

뮤직뱅크를 보는 데 내가 좋아하는 두 가수 사이에 별로 좋아하지 않는 가수가 나와요. 그 가수가 노래하는 3분 동안 연립방정식의 푸는 방법을 생각해보자고요. "연립방정식은 이러이러한 식인데, 해를 구하는 방법은 한 문자의 절댓값이 같을 때는 ………" 한 번 속으로 생각하는 거죠. 실제로 숫자를 대입하거나 하지 않고 그냥 그 풀이 과정을 그림 그리듯이 순서대로 쭉 정리하는 거죠. "여기서는 이렇게 더하고, 저기서는 저렇게 대입해서 푼다."

방에 있는데 엄마가 밥 먹으라고 부릅니다. 가보면 어때요? 밥상이 다 차려진 건 아니고 이제 막 국이 끓고 있죠? 밥 먹을 때까지 3~4분 시간이 남아요. 그 시간에 근의 공식을 머릿속으로 쭉 외워보세요. "이차방정식의 일반형이 이렇게 이렇게 생겼을 때, 근의 공식은 ………" 이거 한 번 머릿속으로 쭉 외우는데 30초밖에 안 걸립니다. 그런데 분모가 a인지 2a인지 헷갈려요. 그럼 헷갈린 채로 그냥 두세요. 밥을 다 먹고 방에 왔을 때 책을 펴서 a인지 2a인지 확인하면 되니까요. 그리고 다시 한 번 머릿속으로 외우죠. 이것도 1분이면 충분하죠? 하루에 한 번 1분 30초, 이렇게 3~4일이면 근의 공식을 외울 수 있습니다.

그러다가 뜬금없이 이주일쯤 지난 후에 한 번 또 근의 공식을 속으로 외워보는 거예요. 그때 기억하고 있다면 좋지만 기억나지 않는다면 다시 책을 펼쳐서 확인.

(자투리 시간 동안 머릿속으로 생각 → 아는 건 아는 대로 모르는 건 나중에 확인) × 반복

자투리 시간을 활용한 수학 공부법의 장점

자투리 시간을 활용하는 방법은 시간이 오래 걸리지 않는다는 거예요. 1, 2분의 시간만 투자하면 되는 거죠. 이거는 따로 설명할 필요가 없죠?

또 다른 장점은 내가 아는 것과 모르는 것을 정확하게 구분할 수 있어요. 내가 아는 건 그냥 아는 채로 두면 되고, 모르는 것만 찾아서 공부하면 되잖아요. 이게 굉장히 중요한 거예요. 내가 아는 것과 모르는 것을 잘 구분하지 못하니까 아는 것도 다시 공부하느라 시간 낭비하고 그렇게 시간을 낭비하니까 모르는 걸 공부하는데 시간이 부족한 경우가 너무 많아요.

안타깝지만 공부라는 건 시험을 통해서 그 결과를 확인하는 과정이 필요해요. 시험을 볼 때 책을 꺼내놓고 볼 수 없잖아요. 내 머릿속에 들어있는 내용만으로 시험을 치러야 하니까 공부할 때도 항상 머릿속에 있는 걸 끄집어내서 공부하는 게 맞아요. 머릿속에서만 공부하는 건 굳이 긴 시간을 내지 않더라도 장소의 제약을 받지 않고 언제 어디서나 할 수 있으니까 훨씬 편리하죠.

개념을 이해하고 공식을 외우는 건 제일 처음 접했을 때는 종이에 써서 확인해봐야 하지만 그 이후에는 굳이 종이에 쓰면서 외울 필요는 없어요. 잠깐잠깐 시간 날 때 1, 2분씩 공부하고 이걸 며칠 동안 반복하면 훨씬 더 효율적으로 외울 수 있어요. 반복하다 보면 확실히 정리되죠

학교에서 학원에서 수업시간에 선생님께서 설명해주는 걸 잘 들어요. 그리고 자투리 시간을 활용해서 머릿속으로 외우고 정리하는 거죠. 모르는 게 있으면 나중에 책을 찾아서 확인하고 덮고 다시 한 번 외우고. 이렇게 반복해서 다 외워지면 그때 책상에 앉아서 연습장에 문제를 푸는 거예요. 문제도 풀다 보면 특별한 풀잇법이 있는 유형이 있겠죠? 나중에 시간 날 때 머리속으로 생각하는 거예요. "이런 유형의 문제는 이렇게 이렇게 푼다."

부가적으로 칭찬도 받을 수 있어요. "쟤는 별로 공부도 안 하는 것 같은데 성적이 잘 나와. 책상에 붙어있는 꼴을 못 봤는데, 머리가 굉장히 좋은가봐."

남들 눈에 안 보이게 머릿속으로만 공부하니까 다른 사람은 모르는 거죠. ㅎㅎ

공부는 종이에 쓰면서 하는 공부가 있고, 머리에 담아서 하는 공부가 있어요. 긴 시간 동안 공부해야 하는 것도 있고, 짧은 시간 동안 여러 번 반복해서 공부해야 하는 것도 있죠. 이 차이를 잘 파악해서 거기에 맞게 시간을 나누고 공부하는 것도 굉장히 중요합니다.

함께 보면 좋은 글

[중등수학] - 수학 공부 방법 - 난이도별 학습
[중등수학] - 가장 좋은 공부법은 나에게 맞는 공부 방법입니다.

수학을 공부하는 방법은 여러 가지가 있어요. 그중에서 한 가지를 소개합니다. 다음 방법을 잘 읽어보고 괜찮을 것 같으면 한 번 도전해 보세요. 그리고 효과가 있는 것 같다고 판단이 들면 앞으로 이 방법으로 공부하세요. 혹시 별로 효과가 없는 것 같다면 그냥 다른 방법으로 공부하고요.

특히 수포자라고 생각하는 학생이라면 꼭 읽고 한 번쯤 시도해봤으면 좋겠습니다. 최소한 수포자는 벗어나야 하잖아요.

이 글을 읽기 전에 "가장 좋은 공부법은 나에게 맞는 공부 방법입니다."는 글을 읽으면 조금 더 도움이 될 겁니다.

문제집의 순서를 내 맘대로 바꿔서 공부하자

공부를 할 때는 자신의 수준에 맞게 공부를 해야 합니다. 그런데 내 수준이 어느 정도인지 잘 모르죠. 게다가 내 수준에 맞는 책을 고르는 것도 쉬운 건 아니에요. 하지만 그런 걱정을 할 필요는 없어요. 왜냐하면, 이미 책은 그 수준에 맞게 단계별로 구성되어 있으니까요.

보통 책이나 문제집을 보면 이런 구성으로 되어있어요.

• 용어, 개념, 공식 설명
• 예제 문제(풀이와 답이 쓰여 있는 문제)
• 보기 문제(예제 문제와 숫자만 다른 문제, 풀이와 답 없음)
• 기본 다지기 문제(비교적 쉬운 계산 문제)
• 실력 향상 문제(조금 어려운 응용, 서술형 문제)

이런 소단원 3~4개가 모여서 중단원이 되고, 중단원이 끝나면 중단원 확인 문제가 있죠.

이런 중단원 3~4개를 모으면 대단원이 되고 대단원이 끝나면 대단원 문제, 심화 문제가 있어요.

이걸 난이도별로 나눠볼까요? 개념 설명, 예제 문제, 보기 문제는 난이도 하 단계라고 할 수 있어요. 기본 다지기 문제는 난이도 중, 실력 향상 문제는 난이도 상이라고 할 수 있죠. 중단원 문제, 대단원 문제, 심화 문제에는 난이도 최상의 문제들이 있고요.

책을 앞에서부터 차례대로 공부하면 아래 순서처럼 공부하게 돼요.

1. 소단원 1의 하
2. 소단원 1의 중
3. 소단원 1의 상
4. 소단원 2의 하
5. 소단원 2의 중
6. 소단원 2의 상
7. 소단원 3의 하
8. 소단원 3의 중
9. 소단원 3의 상

그런데 제가 소개해 드리는 방법은 앞에서부터 차례대로 공부하는 게아니라 그 순서를 조금 엇갈리게 공부하는 거예요.

1. 소단원 1의 하
2. 소단원 2의 하
3. 소단원 3의 하
4. 소단원 1의 중
5. 소단원 2의 중
6. 소단원 3의 중
7. 소단원 1의 상
8. 소단원 2의 상
9. 소단원 3의 상

중단원에서 난이도 하를 먼저 공부하고 그다음 난이도 중을 공부하고 마지막으로 난이도 상을 공부하는 거죠.  그러니까 중단원, 대단원만 있다고 생각해버리는 거예요.

그냥 책에 있는 순서대로 공부했다고 쳐보죠.

소단원 1의 난이도 중 문제를 푸는데 어려워서 막혔다면 더 어려운 소단원 1의 상 문제는 풀 엄두도 나지 않을 거예요. 다음 단계로 넘어갈 수가 없어요.

이번에는 소단원 1의 난이도 하, 중은 잘 넘겼는데 상 문제가 어렵다면 어떨까요? 순서대로 공부하다 보면 거기에 익숙해져서 상 문제를 풀지 못하면 그다음 소단원 2로 넘어가지 못해요. 벽에 부딪힌 것처럼 막막할 거예요.

수학은 대단원 안에서는 바로 앞 내용과 뒤 내용이 연결되니까 바로 앞 내용이 어려웠다면 그다음 내용을 공부하기가 매우 어렵습니다. 바로 앞 내용의 개념이 이해되지 않으면 그다음 개념을 이해할 수 없죠. 바꿔 말하면 앞의 개념만 이해하고 문제를 풀지 못해도 다음 개념을 공부하는데 별 지장이 없다는 거예요. 그런데 보통은 문제를 풀지 못하면 다음 개념으로 넘어가지 못해요. 문제를 풀지 못하면 거기서 대부분은 거기서 책을 덮고 공부를 멈춰버리니까요. 다음 개념을 공부할 기회를 빼앗아 버리는 거죠.

설령 상 문제를 뛰어넘고 그 다음 소단원의 하를 공부한다 치더라도 이미 한 번의 좌절을 겪은 상태라 쉬운 내용마저도 어렵게 느껴지고 공부하기가 싫어져요. 공부해도 아무런 효과가 없죠.

순서를 엇갈려서 공부했다고 해보죠.

난이도 하를 공부할 때 하만 공부하면 그리 어렵지 않게 공부할 수 있어요. 난이도 중을 공부할 때는 비슷한 수준의 내용만 공부하니까 어려워 봤자 다 그 수준이에요. 만약에 난이도 중도 어렵다면 그때 책을 덮어도 상관없어요. 어차피 중이 어렵다면 상은 더 어려우니까 문제를 풀어봐야 풀지도 못하고 시간 낭비일 뿐이니까요. 그래도 중을 풀기 전에 다음 개념을 미리 공부했으니 내용을 빠뜨리는 건 아니잖아요.

순서대로 공부하면 문제가 어려워지다가 쉬워지다 다시 어려워지다 쉬워지다를 너무 짧은 시간, 문제에 반복하다 보니 거기에 적응하기가 쉽지 않지만, 난이도별로 공부를 하면 난이도에 충분히 적응할 수 있는 시간이 생겨요. 난이도 중 10문제 풀고, 상 10문제 푸는 것보다는 난이도 중 문제 30문제, 상 30문제를 푸는 게 적응하기 좋잖아요.

특히 "나는 수포자다"하는 학생이 있다면 이 방법을 꼭 시도해보라고 권하고 싶습니다.

어차피 수포자라면 난이도 상 문제는 풀 수 없겠죠? 근데 난이도 하에 해당하는 개념, 예제, 보기문제 정도는 공부하면 해결할 수 있어요. 수학을 포기해서 아예 공부를 안 하는 것보다는 쉬운 내용 위주로 공부를 하다 보면 자신감이 붙습니다. 최소한 포기라는 생각은 버릴 수 있어요. 찍어서 30 ~ 40점 받는 것보다 풀어서 30 ~ 40점 받는 게 더 낫잖아요. 그렇게 실력과 자신감을 쌓다 보면 수포자가 아니라 수학을 조금 못하는 학생이 되는 거죠. 그다음에는 수학을 그냥저냥 하는 정도가 될 거고요. 이 단계를 지나야 수학을 잘하는 학생이 되는 거고요.

책에 나와있는 순서대로 그 방법대로 꼭 공부해야하는 건 아니에요. 나에 맞게 변형하고 조절하는 것도 꽤 좋은 방법입니다.

함께 보면 좋은 글

[중등수학] - 가장 좋은 공부법은 나에게 맞는 공부 방법입니다.

학습 블로그다 보니까 댓글로 어떻게 공부해야 하는지 물어보는 학생들이 간혹 있습니다. 그런데 저는 아무런 도움을 줄 수가 없어요. 그 학생이 어떤 수준의 학생인지 어떤 특징을 가지고 있는 학생인지 알 수 없으니까요.

만병통치약이 있다면 그냥 그 약을 먹으면 병이 낫겠죠. 공부에도 확실한 공부 방법이 있다면 그냥 그렇게 공부하면 그만이에요. 하지만 세상에 만병통치약이 없는 것처럼 공부에도 왕도는 없습니다.

세상에는 맛있는 음식이 정말 많아요. 남들이 맛있다고 해서 나에게도 맛있다는 보장은 없습니다. 그게 내 입맛에 맞는지는 직접 먹어봐야 아는 거죠. 세상에는 수없이 많은 공부 방법이 있습니다. 그중에서 가장 좋은 방법은 바로 나에게 맞는 공부 방법이에요. 남들이 성공한 학습 방법이라고 해서 나도 성공할 수 있는 건 아니에요. 직접 해보고 그 결과를 판단해야죠.

좋은 학습 방법과 나에게 맞는 학습 방법은 완전히 다릅니다. 형편없은 학습 방법이라도 내가 거기에 잘 적응해서 좋은 성적을 낸다면 그게 가장 좋은 학습 방법인 겁니다.

세상에 좋은 학습 방법은 없습니다. 나에게 맞는 학습 방법과 그렇지 않은 학습 방법만 있을 뿐입니다.

"이번에 서울대 간 애가 이 방법으로 공부했다더라." 혹은 책에 "이 방법으로 공부하면 성적이 오른다."하면 무작정 따라 하기 바쁘지 않나요? 그럼 나도 그렇게 될 것 같지만 그렇지 않아요. 이것이 나에게 정말 도움이 되는 학습 방법인가 판단해야 합니다. 그러려면 이 방법, 저 방법 많이 사용해봐야겠지요.

좋은 방법 하나만 가지고는 성적을 기대할 수는 없습니다. 여기저기서 자신에게 맞는 걸 추려서 자기만의 독특한 학습 방법을 만드는 것도 좋아요. 상황에 따라 변화하는 학습 방법도 좋고요.

학원도 열심히 다니고 공부도 매일 하는데 성적이 오르지 않는 학생은 지금의 공부 방법이 자신과 맞지 않는 겁니다. 과감하게 새로운 방법을 찾아보세요. 학원 바꾸고 인강 사이트 바꾼다고 해결될 일이 아닙니다. 본인이 바뀌어야 합니다.

그리고 그 모든 판단은 본인이 해야 합니다. 남이 대신해줄 수 없어요.

"이렇게 이렇게 공부하고 있는데 이게 잘하고 있는 건지 모르겠어요." 묻는데 한마디만 해드릴게요. "네가 모르면 누가 아니?"

본인 입에 맞는 음식인지 아닌지는 본인만 아는 것처럼 본인에게 좋은 학습 방법인지 아닌지는 본인만 알 수 있습니다. 공부하기 편하고 이해하기 쉽고, 머릿속에 오래 남는 학습 방법이 좋은 방법입니다.

수학을 공부할 때 어떤 방법이 있는지 모르는 학생도 많이 있는 것 같네요. 그래서 앞으로 시간이 있을 때 수학 공부를 하는 몇 가지 방법들을 소개해보려고 합니다. 소개해드린 방법들을 직접 체험해보고 나는 이 방법이 맞는 것 같다고 생각하면 그 방법으로 꾸준히 공부하고, 맞지 않는 것 같다는 생각이 들면 또 다른 학습 방법을 찾아서 또 시도해보세요.

그리고 중요한 것 한가지. 아무리 자신에게 잘 맞는 학습 방법이라도 노력하지 않으면 아무 소용없어요. 좋은 성적을 받으려면 "나에게 맞는 학습법" + "그 학습법으로 공부하는 노력"이 있어야 합니다.