이차방정식을 풀 때 제일 쉬운 방법은 인수분해를 이용하는 방법이에요. 그런데 인수분해가 되지 않을 때도 풀 수 있는 방법도 있어야겠죠?
바로 완전제곱식을 이용한 방법인데요. 원래 완전제곱식으로 인수분해가 되면 이차방정식이 중근을 가질 조건처럼 중근을 가집니다. 그런데 인수분해가 되지 않는 식을 완전제곱식으로 바꿔서 x를 구하면 완전제곱식 꼴이긴 하지만 중근을 갖지는 않아요. 잘 구별하세요.
여기서는 이차방정식의 풀이 - 제곱근을 이용의 방법을 사용하기 위해서 문제에서 주어진 식을 완전제곱식 형태로 바꾸는 과정을 공부할 겁니다.
완전제곱식 만들기
완전제곱식은 말 그대로 식 전체가 제곱이 되어 있는 경우를 말해요. (x + 5)2같은 거 말이죠. 곱셈공식에서 공부했던 (x + a)2, (x - a)2이 바로 완전제곱식이에요.
x2 + 4x + 1 = 0
위 식은 인수분해가 되지 않아요. 그리고 제곱근을 이용할 수도 없네요. 그래서 제곱근을 이용할 수 있도록 식의 모양을 완전제곱식으로 바꿔줄 겁니다.
1단계는 상수항을 우변으로 이항하는 거예요. 이차방정식의 풀이 - 제곱근을 이용에서도 상수항은 우변으로 이항했었죠?
x2 + 4x = -1
좌변을 완전제곱식으로 바꿀 거예요. 완전제곱식은 어떤 특징이 있다고 했죠? 일차항의 계수와 상수항 사이에는 아래같은 관계가 있어요.
x2 + 4x = -1에 일차항의 계수를 이용해서 상수항을 만들어 주는 거예요. 상수항은 
좌변을 완전제곱식으로 인수분해 할 수 있어요.
(x + 2)2 = 3
이제는 제곱근의 정의를 이용할 수 있죠?
이차방정식의 해는 특별한 조건이 없으면 실수 범위에서 구하는 거니까 위의 값이 해가 돼요.
x2 - 2x - 6 = 0
2x2 -8x + 3 = 0
이번에는 x2의 계수가 1이 아닌 2네요. 위에서 했던 건 x2의 계수가 1이었으니까 우리가 해봤던 형태로 바꿔보죠. 어떻게요? 양변을 x2의 계수인 2로 나눠주는 거죠.
이 되겠네요. 나머지는 위와 모두 같아요.
함께보면 좋은 글
제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이
이차방정식이 중근을 가질 조건
(x+p)=q의 꼴로는 어떻게 고치나요?ㅠㅠ
이 글의 내용이 (x+p)^2 = q로 바꾸는 내용이에요.
좌변의 (x+p)^2을 완전제곱식이라고 해요.
우왕 ㅋ 이해안되서 여길 참고햇는데 보자마자 이해가 되어버렷어요!!
자세한 풀이 감사하구 또 필요하면 참고할께요
정말 감사합니다
완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이는 근의 공식을 유도하는 과정에서 필요하고 나중에 함수에서 또 사용하는 방법이에요.
잊어버리지 마세요.
비밀댓글입니다
궁금한거 잘 보고있습니다.
계수가 2일경우에
마지막에 x=2+-루트(5/2)를 왜 +-루트(10)/2가 되는지요?
처음에 계수 2로 나누었기에 다시 곱해주는건가요?
그럼 앞 루트앞상수에는 왜 곱해주지 않는지요..
분모를 유리화(http://mathbang.net/265)한 거예요.
분모를 유리화하면 앞에 있는 2도 통분대상이 아닌가여?그리고 좌변에도 똑같이 곱해줘야하는건 아닌지여?
분모의 유리화는 분모의 무리수 부분만 유리수로 바꾸는 거예요. 앞의 2는 굳이 따지면 분모가 1로 유리수니까 이미 유리화가 되어 있어서 따로 유리화할 필요가 없어요.
우변의 값이 바뀌는 게 아니라서 좌변에도 2를 곱할 필요도 없고요.
비밀댓글입니다
워래 구하려고 하는 게 x니까요.
비밀댓글입니다
본문에서 소개한 순서대로 따라서 해보세요. 충분히 풀 수 있을 겁니다.
안녕하세요 수학방을 통해서 다시 수학공부를 하고 있네요.
마지막 문제에서 루트 5/2까지 해놓고 분모 유리화를 하지 않은 후 답으로 내면 틀린건가요?
틀린 건 아닌데, 이왕이면 유리화까지 하는 게 좋죠.
방금 여기까지 공부하고 정말 놀랬습니다
이차방정식에서 중근이란 중복된 근으로, 두개의 근이 동일한 경우를 말한다고 앞서 나왔었는데
어떤 이차방정식의 근이 a와 -a인 경우
해당 이차방정식은 중근을 갖는다고 할수있는건가요?
본문의 문제들 모두 근이
a ± 루트 b 와 같은 꼴인데요
이때 음,양 두개의 근이 중근이라 할수있는건지 궁금합니다
예제 마지막 문제 분모의 유리화는 다른분들도 많이 이야기 하셨네요
이 부분에서 갑자기 나온게, 기억을 일깨워주는것 같아서 저한테는 아주 좋았습니다
분수를 기약분수로 약분하듯이
분모의 유리화는 항상 해주는게 좋은건가요?
a와 -a는 다르니까 중근이 아니죠.
분모의 유리화는 항상 하는 게 좋아요. 필수는 아닌데, 필수라고 생각하세요.(?) ㅎㅎ
그러면 본문에 나온 문제의 답들은 중근인가요?
왜 그런것인지도 궁금합니다
중근이 아니죠. 다 다르잖아요.
중근은 (....)^2 = 0일 때 중근이에요. 좌변은 완전제곱식, 우변은 0일 때죠. 본문의 문제들은 좌변은 완전제곱식이지만 우변은 0이 아니죠? 푸는 방법은 같지만 전체적인 식의 모양이 다르니까 중근이 아니에요.
의문을 가졌던 부분이 댓글을 보면서 풀렸네요
시원합니다 ^^
댓글에서도 중요한 정보를 많이 얻을 수 있죠.
본문, 댓글을 봐도 이해가 안되는 건 언제든 질문해주세요.
비밀댓글입니다
x^2-2x-6=0퀴즈에서요
x^2-2x+(-1)^2=6+(-1)^2에서
(x-1)^2=7로 될때
2x의 2는 (-1)^2와 같을 수 있나요?
아 혹시 2x를 ax로 둘 때, a의 반의 제곱과 같다는 조건이 있어선가요?
a의 반의 제곱의 존재도 궁금하네요ㅠ
네이버에 완전제곱식 인수분해 설명중에
4^2+12x+9가 (2x+3)^2라는데 저는 양 변에 4를 나눠서 (x+3)^2가 나오는데 왜 다른지 모르겠어요
1. 질문을 이해하지 못했어요.
2. 이차방정식이 중근을 가질 조건 https://mathbang.net/26 을 참고새주세요.
3. 9가 4로 안나눠지니까 그렇게 하면 안돼죠. 인수분해 완전제곱식 https://mathbang.net/270 을 참고해주세요.
감사합니다!!!
세번째 문제요.
2（×^2-4×）+3으로 묶으면 안되나요?
괄호안을 완전제곱식으로 바꾸면 계산방법 틀린거예요?
아,그리구요.근의공식으로 풀었는데도 답이 다르게 나오네요ㅜㅜ
혹 근의공식으로 풀이방법 따로 써주시면 안될까요?ㅜㅜ
1. 2(x^2 - 4x) + 3으로 해도 됩니다.
2. 근의 공식에 다시 대입해보세요.
어디가 문제인걸까요.
근의공식 대입.
a=2 . b=-8.c=3
8플마 루트40/4
약분해서 2플마루트40
2플마 2루트10
ㅠㅠ
제발 알려주세요 쌤ㅜㅜ
약분할 때 분자에서 플마 앞의 8만 약분하고 제곱근 부분은 약분이 안됐잖아요.
루트 안에서 2를 먼저 꺼내서 함께 약분해야죠.
(2분의 일차항의 계수)제곱= 상수항
은 어떻게 해서 이런 관계가 나오나요?
키보드로 수학공식을 쓸 줄 몰라서 이렇게 씁니다.^^;
아래 글을 참고해주세요.
이차방정식이 중근을 가질 조건
https://mathbang.net/26
이해가 잘 되네요
완전제곱식을 이용하여 이차방정식을 풀 때 완전제곱식 앞에 숫자가 붙어있으면 안된다고 알고 있는데 왜그런건가요?
그냥 완전제곱식의 값이 아니라 숫자 X 완전제곱식의 값이니까 당연히 안되죠.
https://mathbang.net/28
위 페이지의 마지막 예제를 참고해주세요.
완전제곱식 앞에 숫자가 있으면 먼저 양변을 그 숫자로 나눠준 후에 답을 구하면 돼요.