단항식의 곱셈, 다항식과 단항식의 곱셈을 해봤어요. 단항식의 곱셈과 나눗셈단항식과 다항식의 곱셈과 나눗셈

이 글에서는 다항식과 다항식의 곱셈을 해볼 거예요. 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 계산하면 되니까 그냥 넘어가고요. 그리고 다항식과 다항식을 곱할 때, 계산과정을 생략하고 그 결과를 바로 만들어낼 수 있는 공식인 곱셈공식도 공부할 거예요.

앞으로 공부할 식은 기본적으로 모두 다항식이기 때문에 곱셈공식은 꼭 알아야 하는 공식이에요. 총 다섯 개가 있는데, 이 글에서는 먼저 2개를 알아보죠.

다항식 × 다항식

두 개의 다항식의 곱 (a + b)(c + d)을 해보죠. 분배법칙을 이용할 거예요.

먼저 앞에 있는 a + b를 m이라고 한 번 생각해볼까요? 그러면 식은 m(c + d)로 바꿀 수 있죠? 이 모양이라면 분배법칙으로 괄호를 풀 수 있죠?

(a + b)(c + d)
= m(c + d)
= (m × c) + (m × d)

그런데, 원래 m = a + b였잖아요. 원래 값을 대입해보죠.
= {(a + b) × c} + {(a + b) × d}

다시 분배법칙으로 괄호를 풀면
= {(a × c) + (b × c)} + {(a × d) + (b × d)}
= ac + bc + ad + bd

항이 두 개인 다항식을 곱할 때는 분배법칙을 2번 이용해서 전개하는 거죠.

위의 계산 결과가 맞는지 그림으로 증명해볼까요? 가로 길이가 (a + b)이고, 세로 길이가 (c + d)인 사각형의 넓이는 (a + b)(c + d)죠?

곱셈공식 - 다항식의 곱셈

전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 넓이의 합
(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd

다항식의 곱셈을 하는 방법이에요. 앞에 있는 다항식의 항 하나를 뒤에 있는 다항식의 항에 모두 곱하고, 앞에 있는 다항식의 다른 항을 뒤에 있는 다항식의 모든 항에 곱하는 거예요. 말로 하면 어려우니까 그림으로 보고 외우세요.

곱셈공식 - 다항식의 곱셈 원리

다음을 간단히 하여라.
(1) (3a + 2)(a + 3)
(2) (a + 3)(a - 2)
(3) (a + 3)(2a + b - 1)

첫 번째 다항식의 한 항을 두 번째 다항식의 모든 항에 곱해주고, 첫 번째 다항식의 다른 항을 두 번째 다항식의 모든 항에 곱해주는 거예요.

(1) (3a + 2)(a + 3)
= 3a(a + 3) + 2(a + 3)
= 3a2 + 9a + 2a + 6
= 3a2 + 11a + 6

(2) (a + 3)(a - 2)
= a(a - 2) + 3(a - 2)
= a2 - 2a + 3a - 6
= a2 + a - 6

(3) 번은 두 번째 다항식의 항이 세 개인데 항의 개수만 다를 뿐 방법이 똑같아요.
(a + 3)(2a + b - 1)
= a(2a + b - 1) + 3(2a + b - 1)
= 2a2 + ab - a + 6a + 3b - 3
= 2a2 + ab + 5a + 3b - 3

곱셈공식(1) - 완전제곱식(합의 공식)

완전제곱식은 똑같은 다항식을 여러 번 곱하는 거예요. 같은 수를 곱하는 걸 거듭제곱이라고 한다면 같은 식을 곱하는 게 완전제곱식이죠.

(a + b) 라는 다항식을 2번 곱하면 (a + b)(a + b) = (a + b)2에요. 한 번 전개해보죠.

(a + b)2
= (a + b)(a + b)
= a2 + ab + ba + b2
= a2 + 2ab + b2

결과만 볼까요?

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

다항식의 각 항을 제곱(a2, b2)해서 더해주고, 그다음 두 항을 곱한 것의 두 배(2ab)를 더해주는 거예요.

그림으로 보면 공식을 더 쉽게 이해할 수 있어요. 한 변의 길이가 a인 정사각형의 길이를 b만큼 늘린 후 넓이를 구하는 거예요.

곱셈공식 - 완전제곱식 1 합의 공식

전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 넓이의 합
(a + b)2 =  a2 + ab + ba + b2
            = a2 + 2ab + b2

곱셈공식(2) - 완전제곱식(차의 공식)

이번에는 (a - b) 의 완전제곱을 구해보죠.

(a - b)2
= (a - b)(a - b)
= a2 - ab - ba + b2
= a2 - 2ab + b2

결과만 볼까요?

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

다항식의 각 항을 제곱(a2, b2)해서 더해주고, 그다음 두 항을 곱한 것의 두 배(2ab)를 빼주는 거예요.

아래 그림을 보세요. 한 변의 길이가 a인 정사각형의 길이를 b만큼 줄인 다음에 사각형의 넓이를 구하는 과정이에요.

곱셈공식 - 완전제곱식 2 차의 공식

색칠한 사각형의 넓이 = 큰 사각형 - 흰 사각형 세 개의 넓이
(a - b)2 = a2 - b(a - b) - (a - b)b - b2
            = a2 - ba + b2 - ab + b2 - b2
            = a2 - 2ab + b2

두 완전제곱식의 차이를 잘 비교해서 외우세요. 각 항을 제곱해주는 건 같은데, 가운데 부호에 따라서 2ab를 더해주고, 빼주는 차이가 있어요.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

다음을 간단히 하여라.
(1) (a + 5)2
(2) (2a + 3b)2
(3) (3a - 5)2
(4) (4a - 2b)2

완전제곱식은 각 항은 제곱해서 더해주고, 두 항의 곱에 2배 한 것을 더해주거나 빼주는 거예요.

(1) (a + 5)2
= a2 + 2 × a × 5 + 52
= a2 + 10a + 25

(2) (2a + 3b)2
= (2a)2 + 2 × 2a × 3b + (3b)2
= 4a2 + 12ab + 9b2

(3) (3a - 5)2
= (3a)2 - 2 × 3a × 5 + 52
= 9a2 - 30a + 25

(4) (4a - 2b)2
= (4a)2 - 2 × 4a × 2b + (2b)2
= 16a2 - 16ab + 4b2

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정리해볼까요

곱셈공식

  • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
  • (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
 
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