곰셈공식의 변형은 곱셈공식과 등식의 변형을 하나로 합친 내용이에요.

곱셈공식은 다섯 가지가 있었는데, 모두 외우고 있죠? 필수공식이니까 반드시 외워야 해요. 그리고 등식의 변형에서 가장 기본이 되는 건 이항이었어요. 이 두 가지만 잘 알고 있으면 이번 글은 비교적 쉽게 넘어갈 수 있는 내용이에요.

곱셈공식의 모양을 바꾸면 새로운 공식이 나오는데, 외우면 좋아요. 하지만 헷갈려서 외우기가 어렵다면 외우지 않아도 돼요. 단 원리는 꼭 이해해야 하고, 곱셈공식을 변형할 수 있어야 해요.

곱셈공식의 변형

곱셈공식의 변형 - 제곱의 합

곱셈공식(완전제곱식합차공식 외)은 총 다섯 가지가 있었는데, 그중 완전제곱식 두 가지 있었죠?

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

이 두 공식의 우변에서 2ab를 이항해서 모양을 바꿀 거예요.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)2 - 2ab = a2 + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a - b)2 + 2ab = a2 + b2

첫 번째 곱셈공식은 두 수의 합(a + b), 두 수의 곱(ab), 각각을 제곱한 것의 합(a2 + b2)으로 이루어져 있어요. 두 번째 곱셈공식은 두 수의 차(a - b), 두 수의 곱(ab), 각각을 제곱한 것의 합(a2 + b2)으로 되어 있고요. 그러니까 두 수의 합/차, 곱, 제곱한 것의 합 중 두 가지를 알면 나머지 하나를 구할 수 있는 거죠. 두 수가 무엇인지는 구할 필요가 없어요.

a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
           = (a - b)2 + 2ab

곱셈공식의 변형 공식은 외우면 좋아요. 하지만 외워지지 않는다면 굳이 외우지 말고, 변형하는 방법만 알아두세요. 문제 푸는 데 전혀 지장이 없으니까요.

변형된 곱셈공식을 이용해서 문제를 풀 때는 문제에서 구하라고 하는 것과 문제에서 주어진 것들이 들어있는 공식을 사용해야 해요. x + y를 구하라고 하는 문제에서 엉뚱하게 (x - y)가 들어있는 공식을 사용해서는 안 되겠죠?

어떤 두 수 x, y의 합이 5이고, 곱이 10일 때 x2 + y2을 구하여라.

합과 곱을 주고 제곱한 것의 합을 구하는 문제에요. 세 가지가 들어있는 공식은 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2네요. 각 자리에 수를 대입해볼까요?

52 = x2 + 20 + y2
x2 + y2 = 25 - 20
x2 + y2 = 5

곱셈공식의 변형 - 합의 제곱, 차의 제곱

변형된 곱셈 공식을 보면 둘 다 좌변이 a2 + b2에요. 그러니까 두 공식의 우변을 서로 같다고 놓을 수도 있겠죠? 그런 다음 2ab를 이항해보죠.

(a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab
(a + b)2 = (a - b)2 + 4ab
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab

합의 제곱, 차의 제곱, 두 수의 곱 중 두 가지를 알면 나머지를 구할 수 있는 공식이에요. 두 수가 어떤 수인지 몰라도 상관없는 거죠. 두 수의 합이 아니라 합의 제곱, 두 수의 차가 아니라 차의 제곱이라는 걸 주의하세요.

새로운 공식들이 만들어졌어요. 외우면 좋겠지만 외우지 못하겠다면 변형하는 방법을 잘 이해하면 돼요.

x + y = 4, x2 + y2 = 10일 때 다음을 구하여라.
(1) xy
(2) (x - y)2

두 수의 합과 제곱의 합이 주어졌어요. 두 가지가 들어있는 공식은 (x + y)2 = x2 + 2xy + y2이에요. 여기서 모르는 xy를 구할 수 있어요.

(1) 42 = 10 + 2xy
2xy = 6
xy = 3

(2)는 차의 제곱을 구하라고 했어요. 차의 제곱이 들어있는 공식은 (x - y)2 = x2 - 2xy + y2이죠. 대입하면
(x - y)2 = 10 - 2 × 3
(x - y)2 = 10 - 6
(x - y)2 = 4

함께보면 좋은 글

곱셈공식 - 완전제곱식
곱셈공식 - 합차공식 외
등식의 변형

정리해볼까요

곱셈공식의 변형: 곱셈공식의 완전제곱식에서 곱으로 된 항을 이항해서 얻은 공식

  • x2 + y2 = (x + y)2 - 2ab
               = (x - y)2 + 2ab
  • (x + y)2 = (x - y)2 + 4ab
    (x - y)2 = (x + y)2 - 4ab
 
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