단항식끼리의 사칙연산, 다항식끼리의 사칙연산을 공부했어요. 이제는 다항식과 단항식의 계산을 공부할 차례에요. 이 글에서는 단항식과 다항식의 곱셈과 나눗셈에 대해서 공부합니다. 어차피 다항식의 계산은 분배법칙동류항 계산이라는 큰 틀 안에 있어요. 이 두 가지만 잘 잘 기억하고 있으면 돼요.

항도 많은데다가 지수 같은 건 글자도 작아서 헷갈리기도 쉬워서 제일 짜증 나는 단원이기도 해요. 하지만 복잡하다고 해서 어려운 건 아니에요. 하나씩 짚어가면서 계산하면 할 수 있어요. 몰라서 틀리는 경우보다 실수로 틀리는 게 많은 단원입니다. 연습을 많이 하셔야 해요.

단항식과 단항식의 곱셈과 나눗셈

(다항식) × (단항식)

다항식에는 항이 두 개 이상이 들어있어요. 각각의 항에 단항식을 곱해줘야 합니다. 이걸 바로 분배법칙이라고 하죠?

분배법칙

분배법칙을 이용하여 괄호를 풀고 정리해서 하나의 다항식으로 바꾸는 걸 전개라고 하고, 이 과정을 거쳐 생긴 새로운 다항식을 전개식이라고 해요.

전개할 때는 다항식의 항과 단항식을 곱하게 되는데, 이때 단항식의 곱셈에서 했던 것처럼 숫자는 숫자끼리, 문자는 문자끼리 곱해야 해요.

4a(2a - 3b)를 계산해보죠. 전개하려면 4a를 2a - 3b의 두 항에 모두 곱해요.

단항식과 다항식의 곱셈

전개하는 과정에서 동류항이 있다면 동류항끼리 계산을 하면 됩니다. 위에서는 동류항이 없네요.

다항식과 단항식의 곱셈
분배법칙으로 괄호 풀기 → 단항식의 곱셈(숫자끼리, 문자끼리 곱) → 동류항 계산 → 결과(전개식)

다음을 간단히 하여라.
(1) (2a2 + 3ab) × a
(2) 2ab(3a3b + 2ab2)
(3) 4a(2a + 3b) - 2b(a + 3b)

단항식과 다항식의 곱셈에서는 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀고, 동류항 계산해서 정리합니다.

(1) (2a2 + 3ab) × a
= 2a2 × a + 3ab × a
= 2a3 + 3a2b

(2) 2ab(3a3b + 2ab2)
= 2ab × 3a3b + 2ab × 2ab2
= 6a4b2 + 4a2b3

(3) 4a(2a + 3b) - 2b(a + 3b)
= 4a × 2a + 4a × 3b - (2b × a + 2b × 3b)
= 8a2 + 12ab - (2ab + 6b2)
= 8a2 + 12ab - 2ab - 6b2
= 8a2 + 10ab - 6b2
밑에서 두 번째 줄에 보면 동류항이 있어서 동류항 정리까지 했어요.

(다항식) ÷ (단항식)

유리수의 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 계산하는 게 편하죠? 다항식과 단항식도 나눗셈은 곱셈으로 고쳐서 계산합니다.

단항식과 다항식의 나눗셈, 역수

나누기를 곱하기로 바꾸고 역수를 취하면 모양이 바뀌는데, 위 곱셈에서 했던 것처럼 분배법칙을 이용해서 전개하는 거예요. 나눗셈을 계산하는 방법은 여러 가지가 있는데, 곱셈으로 바꿔서 하는 방법이 실수가 가장 적은 방법이에요.

단항식과 다항식의 나눗셈 - 보기

다음을 간단히 하여라.
(1) (15ab + 5ab2) ÷ 5b
(2) (4a2b - 6ab2 + 3ab) ÷ 2ab
(3) 단항식과 다항식의 나눗셈 - 예제

다항식과 단항식의 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 분배법칙을 이용하여 전개합니다.

단항식과 다항식의 나눗셈 - 예제풀이 1

단항식과 다항식의 나눗셈 - 예제풀이 2

단항식과 다항식의 나눗셈 - 예제풀이 3

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정리해볼까요

단항식과 다항식의 곱셈과 나눗셈

  • 전개: 분배법칙을 이용하여 괄호를 풀고 정리하여 하나의 다항식으로 나타내는 것
  • 전개식: 전개하여 얻은 다항식
  • 곱셈: 분배법칙을 이용하여 전개
  • 나눗셈: 나눗셈을 곱셈으로 바꾸고, 역수를 취하여 계산
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