이차방정식의 해가 하나일 때, 이 해를 중근이라고 해요. 사실 해는 두 개인데, 이 두개가 중복되기 때문에 중근이라고 하는 겁니다.

해가 하나만 있다고 해서 중근이라고 하면 안되요. 예를 들어 x = 2, x = -5라는 해가 나왔는데, 문제에서 x > 0 이라는 조건이 주어져서 x = 2라는 해만 답이 될 때는 중근이라고 하지 않아요. x는 중복되는 게 아니니까요.

이차방정식이 중근을 가지는 지 확인하는 방법은 두 가지가 있는데, 이 글에서는 먼저 한가지만 알아볼꺼에요. 다른 한 가지는 판별식을 이용하는데 나중에 보도록 하죠.

이차방정식이 중근을 가질 조건

이차방정식이 중근을 가지려면 AB = 0 에서 살펴봤듯이 A2 = 0이라는 완전제곱식 형태가 되어야 해요. 이렇게 됐을 때 다항식 A = 0 이 되어서 똑같은 근이 두 개 생기잖아요.

이차방정식의 해가 중근 = 완전제곱식

전개의 반대과정이 인수분해니까 인수분해해서 완전제곱식이 되는 건 거꾸로 완전제곱식을 전개해서 이차방정식과 비교해도 되겠죠?

이차항의 계수가 1일 때

완전제곱식 (x + a)2을 전개해보면 x2 + 2ax + a2가 돼요.

여기서 x의 일차항의 계수와 상수항을 비교해 볼께요. 어떤 관계가 있나요?

를 찾으셨나요? 즉, 일차항의 계수를 2로 나누어서 제곱하면 상수항이 나오는 관계죠.

이차방정식이 중근을 가질 조건, 완전제곱식

x2 + □x + 9 = 0가 중근을 가질 때 □의 값은?

일차항의 계수인 □의 절반의 제곱이 상수항인 9와 같아야하니까 아래처럼 풀 수 있어요.

따라서 □는 6 또는 -6이 되네요.

일차항의 계수는 ± 값 2개가 있다는 점 주의하세요.

x2 - 10x + △ = 0가 중근을 가질 때 △의 값은?

일차항과 상수항의 관계를 이용해서 중근을 가질 때 계수들을 구할 수 있겠죠.

이차항의 계수가 1이 아닐 때

위 경우에는 이차방정식에서 이차항의 계수가 1일 때에 사용하는 방법이고요. 만약에 이차항의 계수가 1이 아니라면 양변을 이차항의 계수로 나눈 다음에(이차항의 계수를 1로 만든 다음) 같은 방법으로 하면 되겠지요.

아니면 아래 방법으로 구해도 되고요.

이차방정식이 중근을 가질 조건 - 이차항의 계수가 1이 아닐 때

3x2 + □x + 75 = 0가 중근을 가질 때 □의 값은?

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정리해볼까요

이차방정식의 중근

  • 중복되는 근. 같은 해
  • 중근을 가질 조건 - 이차항의 계수를 1로
    이차방정식이 중근을 가질 조건, 완전제곱식
 
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