이차방정식을 풀 때 제일 쉬운 방법은 인수분해를 이용하는 방법이에요. 그런데 인수분해가 되지 않을 때도 풀 수 있는 방법도 있어야겠죠?

바로 완전제곱식을 이용한 방법인데요. 원래 완전제곱식으로 인수분해가 되면 이차방정식이 중근을 가질 조건처럼 중근을 가집니다. 그런데 인수분해가 되지 않는 식을 완전제곱식으로 바꿔서 x를 구하면 완전제곱식 꼴이긴 하지만 중근을 갖지는 않아요. 잘 구별하세요.

여기서는 이차방정식의 풀이 - 제곱근을 이용의 방법을 사용하기 위해서 문제에서 주어진 식을 완전제곱식 형태로 바꾸는 과정을 공부할 겁니다.

완전제곱식 만들기

완전제곱식은 말 그대로 식 전체가 제곱이 되어 있는 경우를 말해요. (x + 5)2같은 거 말이죠. 곱셈공식에서 공부했던 (x + a)2, (x - a)2이 바로 완전제곱식이에요.

x2 + 4x + 1 = 0

위 식은 인수분해가 되지 않아요. 그리고 제곱근을 이용할 수도 없네요. 그래서 제곱근을 이용할 수 있도록 식의 모양을 완전제곱식으로 바꿔줄 겁니다.

1단계는 상수항을 우변으로 이항하는 거예요. 이차방정식의 풀이 - 제곱근을 이용에서도 상수항은 우변으로 이항했었죠?
x2 + 4x = -1

좌변을 완전제곱식으로 바꿀 거예요. 완전제곱식은 어떤 특징이 있다고 했죠? 일차항의 계수와 상수항 사이에는 아래같은 관계가 있어요.

이차방정식이 중근을 가질 조건

x2 + 4x = -1에 일차항의 계수를 이용해서 상수항을 만들어 주는 거예요. 상수항은 이 되겠네요. 상수항은 4가 되는데 이 상수를 좌변에 더해주면 좌변은 완전제곱식이 될 꺼에요. 그런데 좌변에 4를 더해줬으니 마찬가지로 우변에도 같은 수를 더해줘야 등식이 성립하겠죠.

좌변을 완전제곱식으로 인수분해 할 수 있어요.

(x + 2)2 = 3

이제는 제곱근의 정의를 이용할 수 있죠?

이차방정식의 해는 특별한 조건이 없으면 실수 범위에서 구하는 거니까 위의 값이 해가 돼요.

x2 - 2x - 6 = 0

완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이

2x2 -8x + 3 = 0

이번에는 x2의 계수가 1이 아닌 2네요. 위에서 했던 건 x2의 계수가 1이었으니까 우리가 해봤던 형태로 바꿔보죠. 어떻게요? 양변을 x2의 계수인 2로 나눠주는 거죠.

이 되겠네요. 나머지는 위와 모두 같아요.

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제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이
이차방정식이 중근을 가질 조건

정리해볼까요

완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이

  1. 이차항의 계수로 양변을 나눈다
  2. 상수항을 우변으로 이항
  3. 완전제곱식 만들기을 양변에 더해준다.
  4. 좌변을 완전제곱식으로 인수분해: (x + p)2 = k
  5. 제곱근을 이용하여 해를 구한다.
 
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