이차방정식 근의 공식을 다 외우셨나요? 근의 공식을 외우지 못했다면 근의 공식, 근의 공식 유도를 보고 공식을 얼른 외우세요. 중 3수학에서 가장 중요한 내용입니다.

이차방정식이란, 이차방정식의 뜻에서 잠깐 얘기했는데, 일차방정식은 근이 하나, 이차방정식은 근을 두 개까지 가질 수 있어요. 두 개까지 가질 수 있다는 얘기는 하나일 수도있고, 두 개일 수도 있고, 하나도 없을 수도 있다는 뜻이에요.

그럼 어떤 경우에 근이 하나인지, 두 개인지, 하나도 없는 지 알아볼까요?

판별식이란?

이차방정식에서 판별식은 근의 공식에서 근호 안에 있는 부분을 말해요. 판별식은 영어로 Discriminant에서 앞글자 D를 따서 D로로 씁니다.

판별식은 이름 그대로 판별하는 겁니다. 뭘 판별하느냐? 여러가지를 판별할 수 있지만 가장 많이 하는 게 근의 개수를 판별하는 거예요.

이차방정식의 판별식

이차방정식 근의 개수

이차방정식에서 근의 공식을 이용해볼까요?

이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a, b, c 는 상수 a ≠ 0)의 근은 근의 공식에요.

판별식 D = b2 - 4ac > 0이면 근은 판별식이 0보다 클 때, 서로 다른 두 근 두 개가 됩니다.

판별식 D = b2 - 4ac = 0이면 판별식이 0일 때, 중근에서 이니까 라는 근이 하나만 생겨요. 이 때의 근이 바로 중근이에요. 완전제곱식인 거죠.

판별식 D = b2 - 4ac < 0 이면 어떻게 될까요? 우리가 제곱근에서 배웠던 내용을 기억해보세요. 제곱해서 음수가 되는 수는 없죠? 제곱근 안의 수가 0보다 작은 경우는 없어요. 즉, 수가 없는 겁니다. 판별식 D가 0보다 작은 그런 수는 없어요. 따라서 해도 없는 거지요.

판별식과 근의 개수
판별식 근의 개수
b2 - 4ac > 0 서로 다른 두 근
b2 - 4ac = 0 중근
b2 - 4ac < 0 근이 없다

x2 + 3x - 4 + k = 0가 서로 다른 두 근을 가질 때, k 값의 범위를 구하여라.

서로 다른 두 근을 가지므로 판별식이 0보다 커야 해요.

D = b2 - 4ac > 0
32 - 4 × 1 × (-4 + k) > 0
9 + 16 - 4k > 0
4k < 25
판별식과 근의 개수 예제 풀이

아래는 이차방정식이 중근을 가질 조건에서 풀었던 문제인데요. 판별식을 이용하면 좀 더 쉽게 문제를 풀 수 있어요.

x2 + □x + 9= 0가 중근을 가질 때  □ 의 값은?

중근을 가지려면 판별식 D = 0이어야 하죠?

D = b2 - 4ac = 0
2 - 4 × 1 × 9 = 0
2 = 36
□ = ± 6

판별식을 이용하여 근의 개수를 구할 수도 있고, 근의 개수를 미리 알려주고 이차방정식의 계수를 묻는 문제도 풀 수 있어요. 근의 공식만 외워두면 판별식은 따로 외울 필요가 없겠죠? 근의 공식을 꼭 외우세요.

함께 보면 좋은 글

인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이
이차방정식이 중근을 가질 조건
근의 공식, 근의 공식 유도, 짝수 공식
완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이
근과 계수와의 관계

정리해볼까요

ax2 + bx + c = 0 (a, b, c 는 상수 a ≠ 0)의 판별식 D = b2 - 4ac

  • b2 - 4ac > 0        서로 다른 두 근
  • b2 - 4ac = 0        중근
  • b2 - 4ac < 0        근이 없다
 
신고