이차방정식 근의 개수, 판별식 이용
이차방정식에서 판별식이 무엇인지 알아보고, 판별식을 이용하여 근의 개수를 판별하는 방법에 대해서 설명합니다.
이차방정식 근의 공식을 다 외우셨나요? 근의 공식을 외우지 못했다면 근의 공식, 근의 공식 유도를 보고 공식을 얼른 외우세요. 중 3수학에서 가장 중요한 내용입니다.
이차방정식이란, 이차방정식의 뜻에서 잠깐 얘기했는데, 일차방정식은 근이 하나, 이차방정식은 근을 두 개까지 가질 수 있어요. 두 개까지 가질 수 있다는 얘기는 하나일 수도있고, 두 개일 수도 있고, 하나도 없을 수도 있다는 뜻이에요.
그럼 어떤 경우에 근이 하나인지, 두 개인지, 하나도 없는 지 알아볼까요?
판별식이란?
이차방정식에서 판별식은 근의 공식에서 근호 안에 있는 부분을 말해요. 판별식은 영어 Discriminant에서 앞글자를 따서 D로 씁니다.
판별식은 이름 그대로 판별하는 겁니다. 뭘 판별하느냐? 여러가지를 판별할 수 있지만 가장 많이 하는 게 근의 개수를 판별하는 거예요.
ax2 + bx + c = 0 (a, b, c 는 상수 a ≠ 0)의 판별식
D = b2 - 4ac
이차방정식 근의 개수
이차방정식에서 근의 공식을 이용해볼까요?
이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a, b, c 는 상수 a ≠ 0)의 근은 
판별식 D = b2 - 4ac > 0이면 근은 
판별식 D = b2 - 4ac = 0이면 
판별식 D = b2 - 4ac < 0 이면 어떻게 될까요? 우리가 제곱근에서 공부했던 내용을 기억해보세요. 제곱해서 음수가 되는 실수, 근호 안이 0보다 작은 수는 생각하지 않는다고 했죠? 판별식 D가 0보다 작은 그런 실수는 없어요. 따라서 해도 없어요.
| 판별식 | 근의 개수 |
|---|---|
| b2 - 4ac > 0 | 서로 다른 두 근 |
| b2 - 4ac = 0 | 중근 |
| b2 - 4ac < 0 | 근이 없다 |
x2 + 3x - 4 + k = 0가 서로 다른 두 근을 가질 때, k 값의 범위를 구하여라.
서로 다른 두 근을 가지므로 판별식이 0보다 커야 해요.
D = b2 - 4ac > 0
32 - 4 × 1 × (-4 + k) > 0
9 + 16 - 4k > 0
4k < 25
아래는 이차방정식이 중근을 가질 조건에서 풀었던 문제인데요. 판별식을 이용하면 좀 더 쉽게 문제를 풀 수 있어요.
x2 + □x + 9= 0가 중근을 가질 때 □ 의 값은?
중근을 가지려면 판별식 D = 0이어야 하죠?
D = b2 - 4ac = 0
□2 - 4 × 1 × 9 = 0
□2 = 36
□ = ± 6
판별식을 이용하여 근의 개수를 구할 수도 있고, 근의 개수를 미리 알려주고 이차방정식의 계수를 묻는 문제도 풀 수 있어요. 근의 공식만 외워두면 판별식은 따로 외울 필요가 없겠죠? 근의 공식을 꼭 외우세요.
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