이차방정식을 풀기 위해서는 이차방정식의 기본형인 ax2 + bx + c = 0꼴로 바꿔주는 것이 좋아요. 기본형으로 바꾼다음 인수분해가 되면 인수분해를 이용해서 해를 구하고 인수분해가 되지 않는다면 근의 공식으로 푸세요.
이번 글에서는 복잡한 이차방정식의 풀이에 대해서 알아볼 거예요. 복잡한 식이라는 거 많이 해봤잖아요. 복잡한 일차방정식의 풀이, 복잡한 연립방정식의 풀이, 복잡한 부등식, 복잡한 인수분해.. 모두 원리는 하나에요.
복잡한 건 복잡하지 않게 계산하기 쉽게 바꾸면 된다. 복잡한 이차방정식은 복잡하지 않게 바꾼 다음에 인수분해 or 근의 공식 입니다.
복잡한 이차방정식 푸는 법
괄호가 있을 때
괄호가 있으면 괄호를 전개한 다음 동류항끼리 계산을 해야해요. 괄호를 전개하지 않거나 동류항 계산을 다 끝내야 일반형으로 바꿀 수 있어요.
x(1 - x) = (x + 2)(x - 3)
괄호가 있으니까 전개해서 동류항 계산을 하세요. 물론 기본형으로 바꾸는 작업까지요.
x - x2 = x2 - x - 6
2x2 - 2x - 6 = 0
x2 - x - 3 = 0
일반형으로 바꿨더니 위처럼 됐어요. 근데 인수분해가 안되니까 근의 공식을 써야겠죠.
계수가 소수일 때
계수가 소수이면 계산이 복잡합니다. 그래서 계수를 정수로 바꿔줘야해요. 정수로 바꿀려면 10의 제곱인 수 즉, 10, 100, 1000을 식에 곱해줍니다. 계수를 정수로 바꾼 다음에 인수분해나 근의 공식을 이용하세요.
0.3x2 - x + 0.1 = 0
계수가 소수 첫째자리까지 있으니까 10을 곱해줘야 겠네요.
3x2 - 10x + 1 = 0
인수분해가 안되네요. 근의 공식을 써야하는데 x의 계수가 짝수니까 짝수 공식을 써볼까요?
계수가 분수일 때
계수가 분수일 때에도 역시 계수를 정수로 바꿔줘야 해요. 정수로 바꾸려면 각 계수의 분모의 최소공배수를 식에 곱해주면 돼요.
계수가 분수이고, 각 계수의 분모인 5, 2, 10의 최소공배수가 10이니까 식에 10을 곱해줄께요.
2x2 + 5x - 3 = 0
(x + 3)(2x - 1) = 0
x = -3 or x =
공통인 식이 있을 때
공통인 식이 있을 때는 다른 문자로 치환을 해요. 치환하는 거 인수분해할 때 연습 많이 해봤죠? 식에 공통으로 들어있는 부분이나 괄호로 묶여져 있는 부분을 치환합니다.
일단 식을 치환하는 경우에는 대부분 인수분해가 돼요. 인수분해가 되면 치환했던 걸 다시 원래 식으로 바꿔주고 그 다음에 해를 구할 수 있어요.
(x - 1)2 + 6(x - 1) - 27 = 0
x - 1이라는 부분이 있으니까 이 걸 A라는 문자로 치환해볼께요.
A2 + 6A - 27 = 0라는 식이 돼요. 이 식은 A에 관한 이차방정식입니다. 따라서 인수분해나 근의 공식으로 A 값을 구할 수 있겠죠. 인수분해가 되는 군요. A를 구해볼까요?
(A + 9)(A - 3) = 0
A = -9 or A = 3
A를 구했어요. 하지만 문제에서 구하는 건 A가 아니라 x 라는 걸 명심하세요. 원래 A = x - 1였으니까 x를 구해보죠.
| A = -9 x - 1 = -9 x = -8 |
A = 3 x - 1 = 3 x = 4 |
x - 1이라는 식을 A라는 문자로 치환한 후에 다시 원래 식으로 되돌아와서 x를 구할 수 있었어요.
괄호가 있으니까 괄호를 전개해서 계산해도 되지만 전개하지 않고 치환하는 게 훨씬 쉬워요.
함께 보면 좋은 글
근의 공식, 근의 공식 유도, 짝수 공식
인수분해, 공통인수로 인수분해
인수분해 공식 - 완전제곱식, 합차공식
인수분해 공식 두 번째
복잡한 식의 인수분해 1 - 공통인수로 묶기, 치환
복잡한 식의 인수분해 - 항이 4개 이상일 때