다항식의 곱을 전개할 때는 곱셈공식을 사용하죠. 인수분해는 전개의 반대과정이라고 했어요. 따라서 인수분해를 공부하는 순서도 곱셈공식에서 공부했던 순서와 같아요.
인수분해 공식은 곱셈공식을 거꾸로 한 거니까 따로 외우지 않아도 돼요.
곱셈공식부터 정리해보죠. 총 다섯 개가 있는데, 이 글에서는 우선 완전제곱식과 합차공식의 세 가지만 볼게요.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b)(a - b) = a2 - b2
인수분해 공식이라고 부르지는 않지만 인수분해할 때 가장 먼저 해야 하는 건 공통인수로 인수분해하는 거예요. 공식을 적용하기 전에 먼저 해야 합니다.
인수분해 공식 - 완전제곱식
완전제곱식이란
완전제곱식은 어떤 다항식을 두 번 곱하는 거예요. 숫자로 치면 제곱이랑 같아요.
완전제곱식은 어떤 식이 있고 그 전체가 제곱이어야 해요. (……………)2처럼 생겼어요. 앞에 숫자가 곱해져 있는 것도 완전제곱식이에요. 예를 들어 (x + a)2도 완전제곱식이고, 2(x + a)2도 완전제곱식이에요. 단 괄호 앞에 숫자가 아니라 문자이거나 제곱이 아닌 다른 식이 있으면 완전제곱식이라고 하지 않아요. x(x + a)2이나 (x + a)(x + b)2처럼 말이죠.
완전제곱식: 같은 다항식을 두 번 곱한 식, 또는 여기에 숫자를 곱한 식
(a + b)2, k(a + b)2
어떤 식의 모양을 보고, 이게 완전제곱식의 전개식인지 아닌지를 판단하고, 완전제곱식으로 인수분해할 수 있어야 해요. 전개식을 보고 완전제곱식인지 아닌지 판단하는 방법을 알아보죠.
일단 전개식은 세 개의 항으로 되어 있어요. 두 개는 어떤 숫자나 문자의 제곱인 항인데, 이걸 A2, B2이라고 쓸 수 있겠죠? 남은 한 개의 항은 제곱이 되는 a, b를 곱하고 거기에 또 2를 곱한 항이에요.
A2 + 2 × A × B + B2
첫 번째 항은 a의 제곱, 세 번째 항은 b의 제곱, 가운데 항은 a와 b를 곱한 것의 두 배죠. 이런 모양이 바로 완전제곱식이에요. 가운데 항의 모양을 잘 기억하세요.
다음 식이 완전제곱식이 되도록 □에 알맞은 값을 구하여라.
(1) a2 + □ + 36
(2) 4a2 + 4ab + □
(1)의 모양을 조금 바꿔보죠.
a2 + □ + 36
= a2 + □ + 62
□ = 2 × a × 6 = 12a
그런데, 36 = 62 = (-6)2이기도 하죠? 따라서 주어진 식은 a2 + □ + (-6)2이라고 쓸 수도 있어요.
□ = 2 × a × (-6) = -12a
결국 □ = ±12a가 될 수 있어요. 가운데 항의 부호는 ± 가 될 수 있다는 걸 알아두세요.
(2)의 모양을 바꿔보죠.
4a2 + 4ab + □
= (2a)2 + 2 × 2a × b + □
□ = b2
여기는 제곱이니까 부호는 무조건 +에요.
완전제곱식으로 인수분해
일단 전개식이 완전제곱식이라는 걸 알았으면 완전제곱식으로 인수분해를 해야겠죠? 곱셈공식 - 완전제곱식을 거꾸로 하는 거니까 그 모양을 잘 생각해보죠.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
전개식에서 가운데 항의 부호가 완전제곱식의 가운데 항의 부호와 같다는 점만 주의하면 돼요. 전개식에서 각 항은 어떤 것의 제곱인지, 어떤 것을 곱했는지 파악하면 되겠죠?
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
다음 식을 다항식의 곱셈으로 나타내어라.
(1) a2 + 4ab + 4b2
(2) 4a2 + 12ab + 9b2
(3) 8a2 + 8ab + 2b2
식을 다항식의 곱셈으로 나타내는 게 인수분해죠?
(1) 모양을 바꿔보면
a2 + 4ab + 4b2
= a2 + 2 × a × 2b + (2b)2
= (a + 2b)2
(2) 4a2 + 12ab + 9b2
= (2a)2 + 2 × 2a × 3b + (3b)2
= (2a + 3b)2
(3)은 모든 항이 2의 배수이므로 가장 먼저 공통인수로 인수분해를 해야 해요.
8a2 + 8ab + 2b2
= 2(4a2 + 4ab + b2)
= 2{(2a)2 + 2 × 2a × b + b2}
= 2(2a + b)2
인수분해 공식 - 합차공식
곱셈공식에서 합차공식은 숫자, 문자는 같은데 가운데 부호만 다르게 해서 곱한 경우를 말하죠?
(a + b)(a - b) = a2 - b2
인수분해는 거꾸로니까 (제곱 - 제곱)의 꼴 → 합과 차로 바꾸는 거예요. 이 공식을 사용해야 하는 경우를 찾는 건 쉽죠?
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
다음을 인수분해하여라.
(1) 4a2 - 9b2
(2) 3a2 - 27b2
(3) a2 + 4b2
제곱 - 제곱의 꼴일 때, 인수분해 공식을 적용할 수 있어요.
(1) 4a2 - 9b2
= (2a)2 - (3b)2
= (2a + 3b)(2a - 3b)
(2)는 각 항을 3으로 묶을 수 있으니까 먼저 3으로 묶은 다음에 인수분해 공식을 적용해야 해요.
3a2 - 27b2
= 3(a2 - 9b2)
= 3{a2 - (3b)2}
= 3(a + 3b)(a - 3b)
(3)번은 (제곱 + 제곱)의 꼴이에요. 인수분해 공식을 적용할 수 없는 행태에요. 이건 함정으로 낸 문제인데, 더 이상 인수분해를 할 수 없어요.
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