다항식의 곱을 전개할 때는 곱셈공식을 사용하죠. 인수분해는 전개의 반대과정이라고 했어요. 따라서 인수분해를 공부하는 순서도 곱셈공식에서 공부했던 순서와 같아요.

인수분해 공식은 곱셈공식을 거꾸로 하면 돼요. 따로 외울 필요가 없어요.

곱셈공식부터 정리해보죠. 총 다섯 개가 있는데, 이 글에서는 우선 완전제곱식과 합차공식의 세 가지만 볼게요.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b)(a - b) = a2 - b2

인수분해 공식이라고 부르지는 않지만 인수분해할 때 가장 먼저 해야 하는 건 공통인수로 인수분해하는 거예요. 공식을 적용하기 전에 먼저 해야 합니다.

인수분해 공식 - 완전제곱식

완전제곱식이란

완전제곱식은 어떤 다항식을 두 번 곱하는 거에요. 숫자로 치면 제곱이랑 같은 거죠.

다항식의 곱을 전개할 때는 곱셈공식을 사용하죠. 인수분해는 전개의 반대과정이라고 했어요. 따라서 인수분해를 공부하는 순서도 곱셈공식에서 공부했던 순서와 같아요.

인수분해 공식은 곱셈공식을 거꾸로 하면 돼요. 따로 외울 필요가 없어요.

곱셈공식부터 정리해보죠. 총 다섯 개가 있는데, 이 글에서는 우선 완전제곱식과 합차공식의 세 가지만 볼게요.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b)(a - b) = a2 - b2

인수분해 공식이라고 부르지는 않지만 인수분해할 때 가장 먼저 해야 하는 건 공통인수로 인수분해하는 거예요. 공식을 적용하기 전에 먼저 해야 합니다.

인수분해 공식 - 완전제곱식

완전제곱식이란

완전제곱식은 어떤 다항식을 두 번 곱하는 거에요. 숫자로 치면 제곱이랑 같은 거죠.

완전제곱식은 어떤 식이 있고 그 전체가 제곱이어야 해요. (………..)2처럼 생겼어요. 앞에 숫자가 곱해져 있는 것도 완전제곱식이에요. 예를 들어 (x + a)2도 완전제곱식이고, 2(x + a)2도 완전제곱식이에요. 단 괄호 앞에 숫자가 아니라 문자이거나 제곱이 아닌 다른 식이 있으면 완전제곱식이라고 하지 않아요. x(x + a)2이나 (x + a)(x + b)2처럼 말이죠.

완전제곱식: 다항식을 두 번 곱한 식, 또는 여기에 숫자를 곱한 식
(a + b)2, k(a + b)2

어떤 식의 모양을 보고, 이게 완전제곱식의 전개식인지 아닌지를 판단하고, 완전제곱식으로 인수분해를 할 수 있어야 해요. 전개식을 보고 완전제곱식인지 아닌지 판단하는 방법을 알아보죠.

일단 전개식은 세 개의 항으로 되어 있어요. 두 개는 어떤 숫자나 문자의 제곱인 항인데, 이걸 A2, B2이라고 쓸 수 있겠죠? 남은 한 개의 항은 제곱이 되는 A, B를 곱하고 거기에 또 2를 곱하는 항이에요.

A2 + 2 × A × B + B2

첫 번째 항은 A의 제곱, 세 번째 항은 B의 제곱, 가운데 항은 A와 B를 곱한 것의 두 배죠. 이런 모양이 바로 완전제곱식이에요. 가운데 항의 모양을 잘 기억하세요.

다음 식이 완전제곱식이 되도록 □에 알맞은 값을 구하여라.
(1) a2 + □ + 36
(2) 4a2 + 4ab + □

(1)의 모양을 조금 바꿔보죠.
a2 + □ + 36
= a2 + □ + 62

□ = 2 × a × 6 = 12a

그런데, 36 = 62 = (-6)2이기도 하죠? 따라서 주어진 식은 a2 + □ + (-6)2이라고 쓸 수도 있어요.

□ = 2 × a × (-6) = -12a

결국 □ = ±12a가 될 수 있어요. 가운데 항의 부호는 ± 가 될 수 있다는 걸 알아두세요.

(2)의 모양을 바꿔보죠.
4a2 + 4ab + □
= (2a)2 + 2 × 2a × b + □

□ = b2

여기는 제곱이니까 부호는 무조건 +에요.

완전제곱식으로 인수분해

일단 전개식이 완전제곱식이라는 걸 알았으면 완전제곱식으로 인수분해를 해야겠죠? 곱셈공식 - 완전제곱식을 거꾸로 하는 거니까 그 모양을 잘 생각해보세요.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

전개식에서 가운데 항의 부호가 완전제곱식의 가운데 항의 부호와 같다는 점만 주의하시면 돼요. 전개식에서 각 항은 어떤 것의 제곱인지, 어떤 것을 곱했는지만 파악하면 되겠죠? 

인수분해 공식 - 완전제곱식
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2

다음 식을 다항식의 곱셈으로 나타내어라.
(1) a2 + 4ab + 4b2
(2) 4a2 + 12ab + 9b2
(3) 8a2 + 8ab + 2b2

식을 다항식의 곱셈으로 나타내는 게 인수분해죠?

(1) 모양을 바꿔보면
a2 + 4ab + 4b2
= a2 + 2 × a × 2b + (2b)2
= (a + 2b)2

(2) 4a2 + 12ab + 9b2
= (2a)2 + 2 × 2a × 3b + (3b)2
= (2a + 3b)2

(3)은 모든 항이 2의 배수이므로 가장 먼저 공통인수로 인수분해를 해야 해요.
8a2 + 8ab + 2b2
= 2(4a2 + 4ab + b2)
= 2{(2a)2 + 2 × 2a × b + b2}
= 2(2a + b)2

인수분해 공식 - 합차공식

곱셈공식에서 합차공식은 숫자, 문자는 같은데 가운데 부호만 다르게 해서 곱한 경우를 말하죠?
(a + b)(a - b) = a2 - b2

인수분해는 거꾸로니까 (제곱 - 제곱)의 꼴 → 합과 차로 바꾸는 거예요. 이 공식을 사용해야 하는 경우를 찾는 건 쉽죠?

인수분해 공식 - 합차공식
a2 - b2 = (a + b)(a - b)

다음을 인수분해하여라.
(1) 4a2 - 9b2
(2) 3a2 - 27b2
(3) a2 + 4b2

제곱 - 제곱의 꼴일 때, 인수분해 공식을 적용할 수 있어요.

(1) 4a2 - 9b2
= (2a)2 - (3b)2
= (2a + 3b)(2a - 3b)

(2)는 각 항을 3으로 묶을 수 있으니까 먼저 3으로 묶은 다음에 인수분해 공식을 적용해야 해요.
3a2 - 27b2
= 3(a2 - 9b2)
= 3{a2 - (3b)2}
= 3(a + 3b)(a - 3b)

(3)번은 (제곱 + 제곱)의 꼴이에요. 인수분해 공식을 적용할 수 없는 행태에요. 이건 함정으로 낸 문제인데, 더 이상 인수분해를 할 수 없어요.

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정리해볼까요

인수분해공식

  • 인수분해 공식을 사용하기 전에 공통인수로 묶기
  • 완전제곱식: 다항식을 두 번 곱한 식 또는 여기에 상수를 곱한 식
    a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
  • 합차공식: 제곱 - 제곱의 꼴
    a2 - b2 = (a + b)(a - b)
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