한 근이 주어졌을 때 이차방정식 구하기

이차방정식 구하기 두 번째입니다. 이전 글 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 구하기에서는 두 근이 주어졌을 때와 두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식을 구하는 법을 알아봤어요.

이번 글에서는 두 근이 아니라 한 근만 알려줬을 때, 이차방정식을 구하는 방법을 알아볼 거예요. 근을 하나만 알려줬다고 해서 근이 하나만 있는 건 아니에요. 중근이라서 하나만 가르쳐주는 경우도 있지만 근이 두 개인데 그 중 하나만 알려주는 경우도 있거든요. 두 경우를 잘 구분하고, 어떻게 근을 구하는 지 알아보죠.

중근을 알려주었을 때

중근이라는 건 같은 근이 두 개가 있다는 뜻이죠? 따라서 한 근을 α라고 한다면 다른 근 역시 α라고 할 수 있죠.

두 근이 α, β이고 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x - α)(x - β) = 0

위 식에 대입해보면 a(x - α)(x - α) = 0이라서 좌변을 정리하면 a(x - α)² = 0라는 식이 돼요.

주어진 근이 중근이라면 기존에 사용했던 방법에 그대로 대입해서 구할 수 있다는 얘기에요. 공식의 모양이 아래처럼 바뀝니다.

중근이 α이고 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x - α)² = 0

x = 3을 중근으로 하고 이차항의 계수가 2인 이차방정식을 구하여라.

공식에 바로 대입하죠.

2(x - 3)² = 0
2(x² - 6x + 9) = 0
2x² - 12x + 18 = 0

생각보다 어렵지 않죠?

계수가 유리수인 이차방정식

계수가 유리수인 이차방정식은 새로운 내용이 아니에요. 복잡한 이차방정식의 풀이에서 봤던 계수가 소수나 분수인 이차방정식을 말합니다. 물론 여기에는 계수가 정수인 이차방정식도 포함하는 거죠. 즉, 우리가 다루었던 모든 이차방정식을 그냥 이름만 거창하게 붙여놓은 거예요.

계수가 유리수인 이차방정식의 특징이 있어요. 계수가 유리수고 한 근이 무리수면 다른 한 근을 계산해보지 않아도 구할 수 있어요.

근의 공식을 한 번 생각해보세요.

ax² + bx + c = 0 (a, b, c는 상수, a ≠ 0)

근은 유리수 부분과 무리수 부분으로 나눠져 있어요. 그런데 유리수 부분은 같고, 무리수 부분은 부호만 다르죠. 한 근은이고 다른 한 근은이니까요.

그러니까 주어진 근이 무리수라면 다른 근은 무리수 부분의 부호만 반대인 것이죠. 한 근만 알려줬지만 실제는 두 근 모두를 알려준 거예요.

계수가 유리수고 한 근이 m + n이면
⇒ 다른 한 근은 m - n
(m, n은 유리수, ≠ 0)

두 근을 구한 다음에는 합과 곱을 이용해서 이차방정식을 구합니다.

두 근의 합이 m이고, 곱이 n, 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x² - mx + n) = 0
a(x² - 합x + 곱) = 0

한 근이 2 -이고 계수가 유리수인 이차방정식을 구하여라. (단 이차항의 계수는 2이다.)

일단 계수가 유리수이고, 근은 무리수에요. 다른 근은 무리수 부분의 부호만 반대라고 했죠? 한 근이 2 - 라면 다른 근은 2 + 에요.

두 근의 합은 (2 - ) + (2 + ) = 4
두 근의 곱은 (2 - )(2 + ) = 4 - 5 = -1

따라서 문제에서 구하는 답은 아래와 같아요.

2(x²- 4x - 1) = 0
2x²- 8x - 2 = 0

주의 해야할 내용 - 근이 유리수라면

여기서 주의해야할 것이 하나 있는데요. 계수가 유리수이더라도 근이 유리수면 위 관계는 성립하지 않는다는 거예요.

예를 들어 한 근이 3이라고 하죠. 3은 3 +이니까 무리수 부분의 부호만 바꿔서 다른 근을 구하면 3 - = 3이 되죠? 그렇다면 두 근 모두 3이니까 중근이라고 할 수 있을까요?

절대 안됩니다. 중근이었다면 중근이라고 분명히 얘기를 해 줬을 거예요.

(x – 1)(x – 3) = 0의 경우처럼 한 근이 3일 때 다른 근이 1이 될 수도 있거든요. 이런 경우에는 이차방정식의 해의 정의에 따라 3을 식에 대입해서 다른 계수를 구하는 방법으로 풀어야 해요