이차방정식의 활용

이차방정식의 마지막인 이차방정식의 활용입니다.

이차방정식의 활용 문제 푸는 단계

문제를 읽고 구하고자 하는 것을 미지수 x로 놓는다.
문제에서 구하고자 하는 것을 정확히 찾아야 해요. 수를 구하는 문제에서 큰 수를 구하라고 했는지 작은 수를 구하라고 했는지 등에 주의하세요.
미지수를 이용하여 방정식을 세운다.
방정식을 푼다.
인수분해, 근의 공식을 이용해서 해를 구합니다.
문제의 조건에 맞는 답을 고른다.
이차방정식이니까 해가 2개가 나올 수 있어요. 이 중에서 문제에서 요구하는 것을 찾아야 해요. 예를 들어 길이나 무게, 개수 등은 음수가 아닌 양수여야겠죠. 사람 수를 묻는 문제라면 소수가 아닌 자연수가 되어야 하고요.

식 세우는 팁

문제의 유형에 따라 식을 세우는 방법이 몇 가지가 있어요.

연속하는 수

연속하는 두 자연수: x와 x + 1
연속하는 세 자연수: x - 1, x, x + 1
연속하는 세 홀수 또는 연속하는 세 짝수: x - 2, x, x + 2

연속하는 세 홀수가 있다. 가장 큰 수의 제곱이 다른 두 수의 제곱의 합보다 9가 적을 때 가장 작은 홀수는? (단 세 홀수는 모두 양수)

연속하는 세 홀수라고 했으니까 x - 2, x, x + 2라고 해볼까요?

가장 큰 수의 제곱이 다른 두 수의 제곱의 합보다 9가 적으니까 식으로 나타내면 (x + 2)² = x² + (x - 2)² - 9가 되겠네요.

전개해서 정리해보죠.

(x + 2)² = x² + (x - 2)² - 9
x² + 4x + 4 = x² + x² - 4x + 4 - 9
x² - 8x - 9 = 0
(x - 9)(x + 1) = 0
x = 9 or x = -1

세 홀수는 모두 양수라고 했으니까 x = -1은 안되죠. 남은 건 x = 9지만 문제에서 구하는 건 가장 작은 홀수이므로 x - 2, 즉 7입니다.

도형의 넓이, 부피 문제

사다리꼴 넓이: 1/2 × (윗변 + 아랫변) × 높이

원의 넓이: × 반지름²

삼각뿔, 원뿔의 부피: 1/3 × 밑넓이 × 높이

땅에 길을 만드는 문제

직사각형 모양의 공원에 가로 세로로 산책로를 만드는 문제도 자주 나와요.

이때는 도형의 모양을 약간 변형해서 풀면 쉬워요. 각각 떨어져 있는 영역들을 하나로 합치면 새로운 직사각형의 모양이 돼요. 그러면 그냥 직사각형의 넓이를 구하는 방법으로 풀면 됩니다.

이차방정식의 활용 - 길을 내는 문제

가로와 세로의 길이가 각각 20m, 15m인 잔디밭에 폭이 일정한 길을 내려고 한다. 길을 제외한 잔디밭의 넓이가 204m²이라고 할 때 길의 폭을 구하여라. (그림 생략.)

폭이 일정하다고 했으니 길의 폭을 x라고 하죠.

(전체 넓이) - (길의 넓이) = (잔디밭의 넓이)라는 식을 구할 수 있지요.
20 × 15 - (x × 20 + x × 15 - x²) = 204

하지만 그보다는 위 그림처럼 길을 제외한 부분을 하나로 합치면 (20 - x)(15 - x) = 204라는 식이 돼요. 두 식을 정리해보면 똑같아요. 하지만 아래식이 조금 더 간단해 보이죠?

(20 - x)(15 - x) = 204
300 - 35x + x² = 204
x² - 35x + 96 = 0
(x - 32)(x - 3) = 0
x = 32 or x = 3

일단 둘 다 양수니까 길이가 될 수 있겠죠. 하지만 잔디밭의 세로 길이는 15m여서 폭이 이 세로 길이보다 길 수는 없겠죠? 따라서 길의 폭이 될 수 있는 x는 3m입니다.

하늘로 쏘아 올린 공의 높이 문제

t초 후의 높이를 구하는 식이 주어지고, 정해진 높이일 때 시간을 구하는 문제가 나오죠. 시간이니까 기본적으로 양수여야 해요.

또 공을 위로 쏘아 올리므로 어느 지점을 지나면 다시 땅으로 떨어지겠죠? 따라서 공이 올라가면서 정해진 높이에 도달할 때와 떨어지면서 도달할 때 두 가지 경우가 있다는 걸 주의하세요. 이때 공의 속도가 나오기도 하는데, 속도는 높이에 전혀 영향을 미치지 않으니 그냥 무시하세요.

지면에서 초속 20m/s의 속력으로 하늘로 공을 쏘아 올릴 때 t초 후의 공의 높이는 (30t - 6t²)m이다. 하늘로 쏘아 올린 공은 몇 초 후에 지면에 도달하는지 구하시오.

먼저 초속 20m/s라는 공의 속도는 생각하지 마세요.

공이 지면에 도달할 때 공의 높이는 0m지요? 따라서 식은 30t - 6t² = 0이에요. 이 이차방정식을 풀면 t = 0초 또는 t = 5초가 되는데 0초는 공을 쏘아 올릴 때의 시간이니까 빼고, 답은 5초 후네요.