근과 계수와의 관계

이차방정식의 두 근과 계수 사이에는 재미있는 관계가 있어요. 어떤 재미있는 관계냐고요? 두 근을 알고 있다면 이차방정식의 계수를 구할 수 있어요. 반대로 계수들을 알고 있다면 두 근을 구하지 않고도 두 근의 합과 두 근의 곱을 알 수 있고요.

근과 계수와의 관계는 공식으로 외워두면 좋아요. 어렵지 않은 공식이니까 금방 외울 수 있을 거예요.

이차방정식의 근과 계수 사이에는 어떤 관계가 있는 지 알아보죠.

근과 계수와의 관계

이차방정식 근의 공식을 또 써먹을 시간이 되었네요. 근의 공식 한 번 더 해볼까요?

이차방정식의 두 근을 α, β라고 해요. 알파, 베타라고 읽고요.

근의 공식에 나오는 것처럼 한 근을 , 다른 근을 라고 할 수 있겠죠?

두 근의 합과 계수와의 관계

두 근 α, β를 더 해보죠.

두 근을 더했더니, 1차항의 계수를 2차항의 계수로 나눈 거에 (-)를 붙여준 것과 같죠?

두 근의 곱과 계수와의 관계

이번에는 두 근 를 곱해볼께요.

곱한 건 어떻죠? 상수항을 2차항의 계수로 나눈 것과 같아요.

종합해보면 아래같은 공식을 얻을 수 있어요.

이차방정식 x² - 5x + 6 = 0의 두 근의 합과 곱을 구하여라.

두 근의 합과 곱 공식을 사용하기 전에 먼저 근을 구해볼까요?

(x - 2)(x - 3) = 0
x = 2, or x = 3

근이 2, 3이 네요. 두 근을 더하면 5, 곱하면 6이 됩니다.

자 이번에는 근과 계수와의 관계를 이용해서 답을 구해보죠.

두 근의 합 =

두 근의 곱 =

실제 근을 구해서 더하고 곱한 답과 근과 계수와의 관계를 이용해서 구한 답이 같죠? 그렇다면 굳이 두 근을 구할 필요가 없다는 거예요.

x² + ax + b = 0의 두 근의 합이 6, 곱이 -12일 때 a + b의 값을 구하여라.

두 근의 합 에서 a = -6, 두 근의 곱 에서 b = -12라는 걸 알 수 있어요. 그래서 a + b = -6 + (-12) = -18이 되지요.

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정리해볼까요

이차방정식 ax²+bx+c=0에서

• 두 근의 합 =
• 두 근의 곱 =

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