이차방정식의 두 근과 계수 사이에는 재미있는 관계가 있어요. 어떤 재미있는 관계냐고요? 두 근을 알고 있다면 이차방정식의 계수를 구할 수 있어요. 반대로 계수들을 알고 있다면 두 근을 구하지 않고도 두 근의 합과 두 근의 곱을 알 수 있고요.
근과 계수와의 관계는 공식으로 외워두면 좋아요. 어렵지 않은 공식이니까 금방 외울 수 있을 거예요.
이차방정식의 근과 계수 사이에는 어떤 관계가 있는 지 알아보죠.
근과 계수와의 관계
이차방정식 근의 공식을 또 써먹을 시간이 되었네요. 근의 공식 한 번 더 해볼까요?
이차방정식의 두 근을 α, β라고 해요. 알파, 베타라고 읽고요.
근의 공식에 나오는 것처럼 한 근을 
두 근의 합과 계수와의 관계
두 근 α, β를 더 해보죠.
두 근을 더했더니, 1차항의 계수를 2차항의 계수로 나눈 거에 (-)를 붙여준 것과 같죠?
두 근의 곱과 계수와의 관계
이번에는 두 근 를 곱해볼께요.
곱한 건 어떻죠? 상수항을 2차항의 계수로 나눈 것과 같아요.
종합해보면 아래같은 공식을 얻을 수 있어요.
이차방정식 x2 - 5x + 6 = 0의 두 근의 합과 곱을 구하여라.
두 근의 합과 곱 공식을 사용하기 전에 먼저 근을 구해볼까요?
(x - 2)(x - 3) = 0
x = 2, or x = 3
근이 2, 3이 네요. 두 근을 더하면 5, 곱하면 6이 됩니다.
자 이번에는 근과 계수와의 관계를 이용해서 답을 구해보죠.
두 근의 합 =
두 근의 곱 =
실제 근을 구해서 더하고 곱한 답과 근과 계수와의 관계를 이용해서 구한 답이 같죠? 그렇다면 굳이 두 근을 구할 필요가 없다는 거예요.
x2 + ax + b = 0의 두 근의 합이 6, 곱이 -12일 때 a + b의 값을 구하여라.
두 근의 합 
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설명 잘 봤습니당 ^^
근과 계수와의 관계를 근의 공식보다는
(x-a)(x-b)=0
을 전개해서 그 관계를 따지는게 더 쉽지 않았을까 생각합니다 ㅎㅎ
맞습니다. 그 방법이 더 쉬워요.
하지만 그 방법은 두 근이 주어졌을 때 이차방정식 구하기(http://mathbang.net/34)를 공부한 후에나 가능한 방법이죠. 즉, 근이 α, β인 이차방정식이 (x - α)(x - β) = 0가 된다는 것을 알아야 가능한 방법이에요.
그런데 학습 순서는 근의 공식, 근과 계수와의 관계, 두 근이 주어졌을 때 이차방정식 구하기 순서거든요. 학습 순서를 뛰어 넘을 수는 없잖아요.
두 근의 차가 k이면 α, α+k라고 표현된다고 했는데 α＜β 일 경우 α-β=k 인데 이때 k는 음수이고 두 근의 차가 k일 경우 β,β+k가 성립합니다. 하지만 α＜β를 무시해야하고 α,α+k와β,β+k가 같은수들을 가리키는데 왜α, α+k는 k가 양수로 쓰여지고,β,β+k에서는 음수로 쓰여집니까?
하지만 제가 가지고 있는 문제집의 해설에는 ' 이차방정식의 두 근의 차가 k이면 두 근을 나타낼때α, α+k이다.' 라고 설명합니다. 하지만 α와β의 대소관계를 모를경우, α,α+k와β,β+k중 무엇을 사용하여 나타내야 합니까?
그리고 k의 절댓값에 대해 생각해 보았지만 단순히 α＜β 일 경우|α+β|=k의 식에 넣지 않고도 α+β=k 의 경우에도 k의 부호에대해 알수 없지만 이k를 사용하여 나타낸 α,α+k와β,β+k에 절댓값k를 사용할 경우 같은 값을 나타내게 되지 않아요. k에대해 정확히 알고 싶습니다.
질문의 요지는 두근의 차는 아는데, 대소관계를 모를때 어떻게 해야하는가죠?
두 근이 α, β고, 차가 k일 때,
α < β면
β - α = k (k > 0)
α = β - k
β = α + k
따라서 두 근은 α, α + k 또는 β - k, β로 쓸 수 있고요.
α > β면
β - α = k (k < 0)
α = β - k
β = α + k
두 근은 α, α + k 또는 β - k, β으로 쓸 수 있어요.
β - α = k가 아니라 α - β = k로 놓는다면 달라지겠죠?
그러니까 k의 부호는 α, β의 대소관계, 어디에서 빼느냐에 따라 달라져요. 이말은 문제에서 결정적인 조건은 아니라는 거예요. k의 부호에 대해서는 그리 중요하게 생각하지 않아도 돼요.
대소관계를 모르면 α가 더 큰지 β가 더 큰지를 내가 그냥 맘대로 정해서 풀면 돼요. 결과가 나오면 본인이 정한 조건에 맞게 답을 고르면 되지요.
감사합니다.
감사합니다.
댓글 고맙습니다.
오옷 신기하다
수학은아름다워
수학을 공부하는 사람은 더 아름다워요.
근의 공식 넘 신기해여!!! 진짜 감사함돠!!!
👍 말도 아름답게 하시고 아름답게 수학도 설명하시네요