연립방정식 중에서도 이차식이 포함된 연립이차방정식의 풀이입니다.

연립일차방정식에서는 미지수가 3개였고 차수는 1차였죠? 식 세가 연립된 형태였어요. 연립이차방정식은 미지수가 2개고 차수가 2차에요. 식은 두 개입니다. 생긴 게 다르니까 금방 구별할 수 있겠죠?

연립이차방정식 중에서는 이차방정식 두 개가 연립된 경우도 있고, 일차방정식 한 개와 이차방정식 한 개가 연립된 경우도 있어요. 각각의 풀이법을 알아보죠.

연립이차방정식의 풀이

방정식의 차수를 결정할 때는 여러 항 중에서 최고차항의 차수를 이용하죠? 마찬가지로 연립방정식에서도 가장 높은 차수의 방정식에 따라 이름이 붙어요. 연립방정식 중에서 이차인 방정식이 차수가 가장 높으면 그 연립방정식은 연립이차방정식이라고 합니다.

앞서 공부했던 미지수가 3개인 연립일차방정식에서는 세 방정식에서 가장 차수가 높은 방정식이 1차여서 연립일차방정식이라고 한 거예요.

연립이차방정식 - 일차방정식과 이차방정식

일차방정식 한 개와 이차방정식 한 개가 연립된 경우에요. 이때는 대입법을 사용해요. 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리한 다음에 이차방정식에 대입하는 거죠. 그럼 이차방정식의 미지수가 1개가 되니까 일반적인 이차방정식의 풀이를 이용해서 미지수의 값을 구해요. 이렇게 구한 미지수의 값을 일차방정식에 대입해서 나머지 한 개도 구하는 겁니다.

  1. 일차방정식을 한 문자에 관하여 정리
  2. ①을 이차방정식에 대입
  3. ②의 이차방정식 풀기
  4. ③의 해를 일차방정식에 대입하여 나머지 미지수를 구함

다음 연립방정식을 풀어라.
연립이차방정식 예제 1

일차방정식과 이차방정식으로 되어 있는 연립방정식이에요. 일차방정식을 ①, 이차방정식을 ②라고 해보죠.

일차방정식 ①을 y에 대해서 정리해요.

x + y = 2
y = 2 - x … ③

③을 ②에 대입해요. x2 + (2 - x)2 = 10으로 x에 관한 이차방정식이네요. x를 구해볼까요?

x2 + (2 - x)2 = 10
x2 + x2 - 4x + 4 = 10
2x2 - 4x - 6 = 0
x2 - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
x = -1 or 3

이차방정식이니까 x의 값이 두 개예요. 이 두 개를 ①에 대입해서 y를 구할 수 있어요. x = -1이면 y = 3, x = 3 이면 y = -1이네요.

결국 해는 x = -1, y = 3 or x = 3, y = -1입니다.

이차방정식에서는 해가 두 개예요. 그래서 일차방정식과 이차방정식의 연립방정식에서는 해가 두 쌍이 됩니다. 이차방정식의 해가 중근이면 한 쌍이 나올 수도 있고요.

연립이차방정식 - 두 이차방정식

이차방정식이 두 개일 경우예요. 위에서 일차방정식과 이차방정식이 있을 때는 푸는 법을 공부했죠? 그러니까 이차방정식이 두 개있는 것도 일차방정식과 이차방정식이 연립한 것으로 바꾸면 풀 수 있겠죠? 어떻게 바꾸느냐면 바로 인수분해를 하는 거예요.

이차방정식 중 하나를 인수분해해서 일차식 두 개의 곱으로 바꿔요. 이 일차식과 이차방정식으로 새로운 연립방정식을 세워요. 그러면 원래는 이차방정식 두 개로 되어있던 한 개의 연립방정식이 일차방정식과 이차방정식으로 된 두 개의 연립방정식이 되죠. 각각의 연립방정식에서 해를 구하는 겁니다.

각각에서 2쌍씩 해가 나오니까 총 해의 개수는 4쌍이에요.

연립이차방정식 풀이법

다음 연립방정식의 해를 구하여라.
연립이차방정식 예제 2

두 식 중 위의 식을 ①, 아래에 있는 식을 ②라고 해보죠. 두 식 중 하나를 인수분해해야 하는데, ②가 인수분해가 되는군요.

x2 + xy - 6y2 = 0
(x - 2y)(x + 3y) = 0

인수분해를 했더니 두 일차식의 곱으로 바뀌었어요. x - 2y = 0, x + 3y = 0 두 식과 ①을 이용해서 두 개의 연립방정식을 만들어요.

연립이차방정식 예제 2 - 풀이 1

왼쪽의 연립이차방정식부터 풀어보죠. 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리한 후에 이차방정식에 대입해요.

x - 2y = 0
x = 2y     → ①에 대입

x2 + y2 = 25
(2y)2 + y2 = 25    (∵ x = 2y)
5y2 = 25
y2 = 5
y = ±연립이차방정식 예제 2 - 풀이 2
x = ±2연립이차방정식 예제 2 - 풀이 3    (∵ x = 2y)

오른쪽 연립방정식을 풀어볼까요?

x + 3y = 0
x = -3y     → ①에 대입

x2 + y2 = 25
(-3y)2 + y2 = 25    (∵ x = -3y)
10y2 = 25
2y2 = 5
y = 연립이차방정식 예제 2 - 풀이 4
x = 연립이차방정식 예제 2 - 풀이 5    (∵ x = -3y)

연립이차방정식 예제 2 - 풀이 답

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정리해볼까요

연립이차방정식 - 일차방정식과 이차방정식

  1. 일차방정식을 한 문자에 관하여 정리
  2. ①을 이차방정식에 대입
  3. ②의 이차방정식 풀이
  4. ③의 해를 일차방정식에 대입하여 나머지 미지수 구함

연립이차방정식 - 이차방정식 두 개

  1. 이차방정식 중 하나를 인수분해
  2. 인수분해된 두 개의 일차식과 나머지 이차방정식을 묶어서 새로운 연립방정식 두 개를 세움
  3. 각각의 연립방정식을 풀이
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