인수분해는 중학교 때 인수분해, 공통인수로 인수분해에서 다 해봤어요. 고등학교에서 하는 인수분해의 개념이나 기본 공식은 똑같아요. 대신 항의 개수가 많아지고 차수가 높아지는 등 수준이 더 어려워진 것뿐이에요.

인수분해는 전개의 반대과정이에요. 전개할 때는 공셈공식을 사용하니까 인수분해는 공셈공식을 거꾸로 사용하면 되는 거죠. 따라서 인수분해 공식이라고 따로 외우는 게 아니라 곱셈공식의 좌, 우변을 바꾸면 돼요.

곱셈공식, 곱셈공식 유도를 보고 공식을 잘 외웠다면 이번 글은 별로 어렵지 않을 거예요.

인수분해공식

인수분해는 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 걸 말해요. 그 곱을 이루고 있는 다항식을 인수라고 하고요. 숫자의 약수와 비슷한 거예요.

인수분해를 할 때 가장 먼저 해야 할 일은 공통인수로 묶는 거예요. 공통인수로 묶은 다음에 공식을 적용하는 거죠. 공통인수가 없다면 바로 공식을 사용해도 되고요.

인수분해는 전개의 반대과정이니까 곱셈공식의 좌, 우변을 바꾸기만 하면 인수분해 공식이 돼요.

먼저 중학교 때 공부했던 인수분해 공식 다섯 개를 확인해보죠. 인수분해 공식 1 - 완전제곱식, 합차공식인수분해 공식 2

a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
acx2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)

공식 말고 X자로 했던 것도 기억하나요?

인수분해 공식 - 이차항의 계수가 1이 아닐 때

위 모든 게 다 기억나죠?

다음은 곱셈공식, 곱셈공식 유도에서 했던 공식들의 좌, 우변을 바꾼 인수분해 공식이에요.

(1) ma + mb + mc = m(a + b + c)
(2) a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2
(3) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
     a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3
(4) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
     a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
(5) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)
                                    = 1/2(a + b + c){(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2}

(1)번은 인수분해의 가장 기본인 공통인수로 묶기를 나태나는 거예요. (2), (3), (4)는 곱셈공식을 거꾸로 한 거고요. (5)의 아랫줄에 있는 공식은 곱셈공식의 변형에서 했던 a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = 1/2{(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2}을 적용한 거예요.

다음을 인수분해하여라.
(1) x2 - 5x + 6
(2) x3y - xy3
(3) 4x2 + y2 + 9z2 + 4xy - 6yz - 12zx
(4) x3 - 3x2y + 3xy2 - y3

인수분해는 공통인수로 묶은 다음에 인수분해 공식을 이용해야 해요.

(1)은 공통인수가 없네요. X자를 이용해서 해도 좋고, 공식을 이용해도 좋아요. 하지만 이 정도 문제는 암산으로 바로 풀 수 있을 정도가 되어야 해요.

x2 - 5x + 6 = (x -2)(x -3)

(2)은 두 항에 xy라는 공통인수가 있어요. 이걸로 묶고 공식을 적용해야 하죠.

x3y - xy3 = xy(x2 - y2) = xy(x + y)(x - y)

(3)번은 항이 무척 많네요. 항을 잘 보면 제곱인 항이 3개가 있으니까 위 인수분해 공식에서 (2)번에 해당하는 문제예요.
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)2

4x2 + y2 + 9z2 + 4xy - 6yz - 12zx
= (2x)2 + y2 + (-3z)2 + 2(2x)y + 2y(-3z) + 2(-3z)(2x)
= (2x + y - 3z)2

(4)번은 세제곱인 항이 두 개있고, 이들이 섞여 있는 항이 두 개니까 (3)번 공식에 해당하는 문제예요. 그런데 y3이 (-)네요.
a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = (a ± b)3

x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
= (x - y)3

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정리해볼까요

인수분해: 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타낸 것.

인수분해 공식 1

  • a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
  • a2 - b2 = (a + b)(a - b)
  • x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
  • acx2 + (ad + bc)x + bd = (ac + b)(cx + d)

인수분해 공식 2

  • ma + mb + mc = m(a + b + c)
  • a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2
  • a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
    a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3
  • a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
    a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
  • a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)
                                 = 1/2 (a + b + c){(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2}
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