고1 곱셈공식의 변형은 고1 곱셈공식에서 항을 이항시켜서 만든 거예요. 솔직히 말해서 이항을 잘 한다면 곱셈공식의 변형을 외울 필요는 없어요. 괜히 외우려다가 원래의 곱셈공식과 헷갈리기만 할 뿐이죠.

원래의 곱셈공식에서 이항을 해서 만든 게 곱셈공식의 변형이라서 기본적으로 두 개는 같은 거예요. 2 + 3 = 5와 2 = 5 - 3이 같은 거잖아요. 실제로 문제에서는 원래의 곱셈공식에 대입해서 풀다가 필요할 때 숫자를 이항시키는 게 훨씬 쉬워요.

그렇다고 모든 변형 공식이 필요없는 게 아니에요. 그 중에는 꼭 외워야하는 곱셈공식의 변형도 있으니 설명을 잘 보세요. 이 글에서는 곱셈공식의 변형을 외우려고 하지 말고, 어떻게 만들어지는 지 잘 이해해야해요.

곱셈공식의 변형

곱셈공색의 변형에서 가장 핵심은 이항이에요. 항의 부호를 바꿔서 반대 변으로 넘기는 걸 이항이라고 하죠? 아래는 중학교 때 공부했던 곱셈공식의 변형이에요.

a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
           = (a - b)2 + 2ab
(a + b)2 = (a - b)2 + 4ab
(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab

세 번째 줄이 어떻게 만들어지는지 이해하고, 외우세요.

고1 곱셈공식의 변형을 알아보죠. 앞서 공부했던 곱셈공식에서 몇몇 항을 이항해서 여러가지 곱셈공식의 변형을 만들 수 있어요.

(1) a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)
(2) a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
     a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)
(3) a3 + b3 + c3 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) + 3abc
(4) a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca =  {(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2}

마지막 (4)은 (3)번의 가운데에 있는 괄호안을 정리한 거예요. 어떻게 위 공식들이 변형되었는지 확인해보죠.

(1) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
     a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)

(2) (a + b)3 = a3 + 3ab(a + b) + b3
     a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)

    (a - b)3 = a3 - 3ab(a - b) + b3
     a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)

(3) (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = a3 + b3 + c3 - 3abc
     a3 + b3 + c3 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) + 3abc

(4) a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca
  =  × 2(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)
  =  × (2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca)
  =  × (a2 - 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 + c2 - 2ca + a2)
  =  {(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2}

곱셈공식의 변형은 기본 곱셈공식에서 항을 이항한 것에 지나지 않기때문에 굳이 외울 필요는 없어요. 오히려 원형과 헷갈리기만 할 뿐이거든요. 계산할 때 숫자를 대입한 다음에 이항해도 문제는 풀 수 있어요. 단, 마지막에 있는 (4)번은 곱셈공식에 없는거니까 외워두세요.

x + y + z = 6, x2 + y2 + z2 = 14, xyz = 6일 때, x3 + y3 + z3를 구하여라.

곱셈공식의 변형을 이용하지 않고 곱셈공식 원형을 이용해서 문제를 풀어보죠.

곱셈공식 중에서 세 제곱인 세 항이 들어있는 공식은 (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) = x3 + y3 + z3 - 3xyz에요. 그런데, -xy - yz - zx의 값을 모르니 이 공식에 대입할 수 없어요.

-xy - yz - zx = -(xy + yz + zx)의 값을 구할 수 있는 공식은 (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx)네요. 대입해보죠.

62 = 14 + 2(xy + yz + zx)
2(xy + yz + zx) = 36 - 14
xy + yz + zx = 11
-(xy + yz + zx) = -11

(x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) = x3 + y3 + z3 - 3xyz
6(14 - 11) = x3 + y3 + z3 - 3 × 6
18 = x3 + y3 + z3 - 18
x3 + y3 + z3 = 36

곱셈공식 원형을 이용해서 문제를 풀어도 아무런 지장없이 풀 수 있어요.

분수꼴 곱셈공식의 변형

분수 형태의 곱셈공식이에요. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2에서 a = x, b = 로 바꿨다고 생각하세요. 2ab = 2x = 2이네요.

(x + )2 = x2 + 2x· +
x2 +  = (x + )2  - 2

(x - )2 = x2 - 2x· +
x2 +  = (x - )2  + 2

x2 +  = (x + )2  - 2
                 = (x - )2  + 2

우 변 두 개를 같다고 놓고, -2와 +2를 한 번씩 이항해보죠.

(x + )2  - 2  = (x - )2  + 2

(x + )2  = (x - )2  + 4
(x - )2  = (x + )2  - 4

x +  = 3일 때, 다음을 구하여라.
(1) x2 +
(2) x3 +

(1) (x + )2 = x2 + 2x· +
x2 + = (x + )2 - 2
               = 32 - 2
               = 7

(2) (x + )3 = x3 + 3x·(x + ) +
x3 + = (x + )3 - 3(x + )
               = 33 - 3·3
               = 27 - 9
               = 18

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정리해볼까요

곱셈공식의 변형

  • a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)
  • a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b)
    a3 - b3 = (a - b)3 + 3ab(a - b)
  • a3 + b3 + c3 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) + 3abc
  • a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = =  {(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2}

분수꼴 곱셈공식의 변형

  • x2 +  = (x + )2  - 2
                    = (x - )2  + 2
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