중학교에서 했던 다항식의 나눗셈은 나누는 항이 하나였어요. 다항식 중에서도 단항식으로 나누었던 거죠. 숫자끼리 약분하고, 지수는 뺄셈을 통해서 계산할 수 있었죠.
고등학교 과정에서 공부하는 다항식의 나눗셈은 나누는 항이 두 개이상인 다항식이에요. 항이 여러 개 있다보니까 약분을 하거나 지수법칙을 적용할 수 없는 경우가 생기죠.
이럴 때 어떻게 나눗셈을 하는지 알아보죠. 차수와 계수에 주목해서 보세요.
글로 설명하기가 참 어려운 내용이라서 그림을 잘 보고 이해해보세요.
다항식의 나눗셈
숫자의 나눗셈을 먼저 해볼까요? 55 ÷ 3을 해보죠. 세로로 나누기를 할 때, 아래 그림처럼 해요.
십의 자리 숫자 5에서 3을 나누고, 나머지 2를 내려서 일의 자리 숫자 5를 붙이고, 25에서 3을 나누고, 24를 뺀 나머지 1을 쓰죠?
다항식의 나눗셈도 이렇게 해요. 차이가 있다면 숫자의 자리가 아니라 차수를 이용한다는 거예요. 나누는 식의 최고차항과 계수와 차수가 같아지도록 하는 것이 핵심이에요.
숫자는 나눗셈을 할 때, 나눠지는 수의 뒷자리에 맞게 뒤에서부터 몫을 쓰는데, 다항식의 나눗셈에서는 앞에서부터 써요.
(x2 + 3x - 4) ÷ (x - 1)을 해보죠.
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- 나눠지는 식의 최고차항은 2차고 나누는 식이 최고차항이 1차니까 나누는 식에 x를 곱하면 차수가 같아지죠?
(x - 1) × x = x2 - x - (나눠지는 식) - (나누는 식 × x) = x2 + 3x - (x - 1)x = 4x, -4는 그대로 아래로
- x - 1은 최고차항이 1차, 4x - 4도 최고차 항이 1차로 같지만 계수가 다르니까 계수를 똑같이 만들어 주려면 (x - 1) × 4 = 4x - 4
- 두 식을 빼줍니다. (4x - 4) - (x - 1) × 4 = 0
55 ÷ 3의 결과를 55 = 3 × 18 + 1로 쓰잖아요. 이 때 55를 나눠지는 수, 3을 나누는 수, 18을 몫, 1을 나머지라고 하죠? (나눠지는 수) = (나누는 수) × (몫) + (나머지)
다항식 A를 0아닌 다항식 B로 나누었을 때 몫을 Q, 나머지를 R이라고 해서 A = BQ + R (B ≠ 0)라고 써요.
위 나눗셈의 결과는 x2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4) + 0으로 쓰는 거죠. + 0은 생략해도 돼요.
30 ÷ 3을 해보면 30 = 3 × 10이라고 써요. 나머지가 0이니까 30은 3으로 나눠어 떨어진다고 하죠? 다항식에서도 나머지 R = 0이면 나누어 떨어진다고 해요. 위 보기에서 x2 + 3x - 4는 (x - 1)로 나누어 떨어진다고 해요.
숫자의 나눗셈에서 나머지는 항상 나누는 수보다 작아요. 같거나 크면 안되죠? 다항식의 나눗셈에서는 나머지는 나누는 수보다 차수가 작아요. 위 예제에서는 나누는 식은 1차식, 나머지는 상수항이니까 0차죠? 이거 주의하세요.
다음 다항식의 나눗셈을 하고, 몫과 나머지를 구하여라.
(1) (2x3 + 3x2 - x - 2) ÷ (x + 1)
(2) (2x3 - 5x2 + 5x - 4) ÷ (2x - 3)
나눠지는 식의 최고차항을 찾아서 나눠지는 식의 최고차항과 비교해야 해요. 이 때, 계수와 차수가 같아지도록 숫자나 문자를 곱하는 거죠.
(1)을 계산해 볼까요?
몫은 2x2 + x - 2, 나머지는 0이네요. 2x3 + 3x2 - x - 2는 x + 1로 나누어 떨어지는 군요.
(2)번을 해보죠.
몫은 x2 - x + 1, 나머지는 -1이네요.
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