연립방정식의 풀이법 - 가감법에 이은 연립방정식의 풀이 두 번째입니다. 첫 번째 글에서는 가감법에 대해서 알아봤는데요. 간단히 정리해볼까요?

연립방정식의 풀이에서 핵심은 바로 미지수의 개수를 줄이는 거였어요.

가감법은 두 식을 더하거나 빼서 미지수의 개수를 줄이는 방법이었죠. 없애고자 하는 미지수의 계수가 절댓값이 같고 부호가 같으면 두 식을 빼고, 미지수의 계수가 절댓값이 같고 부호가 다르면 두 식을 더하는 거였죠.

이번 글에서 공부할 내용은 미지수의 계수가 절댓값이 다를 때는 어떻게 하는가에요.

앞에서 해봤던 가감법 풀이는 미지수의 계수의 절댓값이 같아서 더해주고 빼주고만 하면 됐는데, 미지수 계수의 절댓값이 다르면 어떻게 해야 할까요?

가감법 - 미지수의 계수의 절댓값이 다를 때

가감법 첫 번째에서 했던 것처럼 위에 있는 식을 ①식, 아래에 있는 식을 ②식이라고 이름 붙이고, 두 식의 좌변끼리 우변끼리 더해보세요.

5x - y + 4x + 3y = 8 + 14

각 변을 정리해보면 9x + 2y = 22가 돼요. 미지수의 개수가 줄어들지 않았어요. 그럼 두 식을 빼볼까요?

5x - y - (4x + 3y) = 8 – 14
5x - y - 4x - 3y = -6
x - 4y = -6

두 식을 빼 봐도 마찬가지로 미지수의 개수가 줄어들지 않아요.

두 식을 더하거나 빼서 미지수를 없애려면 없애려고 하는 미지수의 계수의 절댓값이 같아야 해요. 생각해보세요. 5x와 -5x를 더해야 x가 없어지겠죠? 5x에서 5x를 빼야 없어질 거 아니에요? 5x에서 4x를 빼거나 더해서는 x가 없어지지 않아요.

우리가 할 건 뭐냐면 미지수를 없앨 수 있게, 두 식의 미지수의 계수의 절댓값을 같게 만드는 거예요.

자 여기서 선택을 해야 합니다. 무슨 선택이냐면 어떤 미지수를 없앨 것인가를 고르는 거예요. 없앨 미지수를 선택할 때는 딱 한 가지 방법만 사용하세요. 각 미지수의 계수 절댓값의 최소공배수가 작은 쪽을 선택해요. 계산을 쉽게 하려면 숫자가 작아야 하니까 최소공배수가 작은 쪽을 선택하는 거예요.

x의 계수의 절댓값은 ①식이 5, ②식이 4, 두 수의 최소공배수는 20이에요. y의 계수의 절댓값은 ①식이 1, ②식이 3, 두 수의 최소공배수는 3이네요. 그럼 절댓값의 최소공배수가 작은 y를 없애기로 하죠.

지금부터 하는 건 미지수의 계수의 절댓값을 같게 하는 거예요. 그 이후의 과정에 앞서 했던 “연립방정식의 풀이법 – 가감법”과 같아요.

①식에 3을 곱해 볼게요. 식에 3을 곱한다는 말은 ①식의 모든 항에 3을 곱해주는 겁니다.

5x – y = 8
3(5x – y) = 3 × 8

①식에 3을 곱하면 15x - 3y = 24으로 바뀌는데 이 식을 ③식이라고 하죠

②식과 ③식을 비교해보세요. y의 계수의 절댓값이 같아졌죠? 자 그럼 이제 ②식과 ③식을 더하거나 빼서 미지수 y를 없애고 x만 남길 수 있다는 뜻이에요.

②식과 ③식의 y 계수는 절댓값이 같고 부호가 반대니까 두 식을 더해야겠네요.

15x - 3y + 4x + 3y = 24 + 14
19x = 38
x = 2

x = 2라는 값을 구했어요. 이렇게 나온 x = 2를 ①식, ②식 아무 식에나 대입하세요. ①식에 넣어보죠.

5 × 2 - y = 8
10 - y = 8
-y = -2
y = 2

y값도 구했네요. 연립방정식의 해는 x = 2, y = 2군요.

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정리해볼까요

미지수의 계수의 절댓값이 다르면

  1. 계수의 절댓값의 최소공배수가 작은 미지수를 선택하고
  2. 계수의 절댓값이 같아지도록 식에 적당한 수를 곱한 다음
  3. 두 식을 서로 더하거나 빼서 미지수를 없앤다.
 
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