중학교 2학년 때 공부했던 연립방정식은 미지수가 x, y 두 개 있는 일차방정식 두 개를 묶은 연립일차방정식이었어요. 고등학교에서 공부할 연립방정식은 미지수의 개수도 한 개 늘어났고, 식의 개수도 한 개 늘어나요. 미지수가 x, y, z 세 개있는 일차방정식 세 개를 묶은 연립일차방정식이지요.

연립방정식을 푸는 방법으로 가감법과 대입법을 공부했어요. x, y중 한 미지수의 계수의 절댓값을 똑같게 해서 식을 더하고 빼는 게 가감법, 두 식 중 한 식을 한 문자에 대하여 정리해서 다른 식에 대입하는 게 대입법이었지요.

미지수가 3개인 연립일차방정식

연립방정식을 풀 때 가장 중요한 것은 미지수의 개수를 줄이는 것이에요. 미지수의 개수가 2개인 연립일차방정식은 우리가 풀 수 있잖아요. 그래서 미지수의 개수가 3개인 연립방정식은 우리가 풀 수 있는 형태로 바꿔서 풀어요.

미지수의 개수 줄이기
미지수가 3개인 연립일차방정식
→ 미지수가 2개인 연립일차방정식으로 변환
→ 미지수가 1개인 일차방정식으로 변환

그럼 미지수의 개수를 어떻게 줄이느냐? 바로 가감법과 대입법으로 줄이죠.

다음 연립방정식의 해를 구하여라.
연립방정식 예제

미지수 2개인 연립일차방정식인데, 연습 삼아 풀어보죠. y의 계수의 절댓값이 같고 부호가 반대니까 두 식을 더하면 되겠네요.

3x = 6
x = 2

x = 2를 두 식 중 아무 식에나 대입해요.
2 - y = 1
y = 1

x = 2, y = 1이라는 해를 구했어요.

가감법을 통해서 x, y 2개의 미지수 중 y를 없앴더니 남은 x의 값을 구할 수 있었어요. 그리고 x를 원래 식에 대입해서 y의 값을 구했지요.

이번에는 미지수가 3개이고 식도 3개인 연립일차방정식을 풀어보죠.

연립일차방정식 예제 2

미지수가 x, y, z 세 개이고, 식이 세 개예요. 위에서부터 차례대로 ①, ②, ③식이라고 해보죠.

세 식을 더하거나 빼서 미지수의 개수를 줄여야 해요. 한 번의 계산으로 미지수의 값을 구할 수 없어요. 일단 미지수가 3개니까 2개로 줄여야 해요. 세 식 중에서 아무거나 두 개를 고르세요. ①, ②를 골라보죠. y의 계수의 절댓값이 같고 부호가 반대네요. 가감법으로 두 식을 더하면 y가 없어지고, x, z 두 개의 미지수만 남겠죠?

x + y - z = 0 … ①
2x - y + 3z = 9 … ②

3x + 2z = 9 … ① + ② = ④

다음은 문제에서 또 두 개의 식을 골라요. ①, ③을 골라보죠. 앞에서 y를 없앴죠? 그럼 여기서도 y가 없어지도록 가감법을 해요. y를 없애려면 ① × 2 - ③을 해야겠네요.

2x + 2y - 2z = 0  … ① × 2
x + 2y + z = 8 … ③

x - 3z = -8 … ① × 2 - ③ = ⑤

④, ⑤ 식을 보면 x, z만 있는 연립방정식이에요. 미지수가 두 개인 것은 금방 해결할 수 있죠?

3x + 2z = 9 … ④
3x - 9z = -24 … ⑤ × 3

11z = 33 … ④ - ⑤ × 3
z = 3

z = 3을 ⑤에 대입하면 x = 1

x = 1, z = 3을 원래 식 중 아무 식에나 대입해요. ①에 대입하면 y = 2네요.

x = 1, y = 2, z = 3이 답이에요.

미지수가 3개인 연립일차방정식의 풀이법이에요. 상당히 복잡하지만 하나씩 따지고 보면 어렵지는 않아요. 가감법으로 미지수의 개수를 줄여나간다는 것만 잘 기억하세요.

  1. 세 식 중 두 식을 선택해서 가감법을 이용하여 한 문자를 제거
    ⇒ 미지수의 개수를 2개로
  2. 다른 두 식을 선택해서 가감법을 이용하여 ①에서 제거한 것과 같은 문자를 제거
    ⇒ 미지수의 개수를 2개로
  3. ①, ②에서 만들어진 두 식을 연립하여 미지수의 값을 구함
    ⇒ 미지수가 2개인 연립방정식의 풀이
  4. ③에서 구한 두 미지수의 값을 원래 식 중 하나에 대입하여 나머지 미지수를 구함
    ⇒ 마지막으로 구하는 미지수는 ①, ②에서 제거한 미지수

다음 연립방정식을 풀어라.
연립일차방정식 예제 2

순서대로 ①, ②, ③이라고 할게요.

①, ③을 골라서 z를 없애보죠.

2x + y - z = 8 … ①
3x + 2y + z = 11 … ③

5x + 3y = 19 … ① + ③ = ④

이번에는 ②, ③을 골라볼까요. 앞에서 z를 없앴으니 여기서도 z를 없애야 해요.

x - y + 3z = -4 … ②
9x + 6y + 3z = 33 … ③ × 3

-8x - 7y = -37 … ② - ③ × 3 = ⑤

④, ⑤식은 x, y만 있는 연립방정식이니까 풀 수 있어요.

35x + 21y = 133 … ④ × 7
-24x - 21y = -111 … ⑤ × 3

11x = 22  … ④ × 7 + ⑤ × 3
x = 2

x = 2를 ④에 대입하면 y = 3

x = 2, y = 3을 ①에 대입하면 z = -1

x = 2, y = 3, z = -1이 답이네요.

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정리해볼까요

미지수가 3개인 연립일차방정식

  • 가갑법, 대입법으로 미지수의 개수를 줄여나간다
  • 미지수가 3개인 연립일차방정식
    → 미지수가 2개인 연립일차방정식
    → 미지수가 1개인 일차방정식
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