중학교 2학년 때 공부했던 연립방정식은 미지수가 x, y 두 개 있는 일차방정식 두 개를 묶은 연립일차방정식이었어요. 고등학교에서 공부할 연립방정식은 미지수의 개수도 한 개 늘어났고, 식의 개수도 한 개 늘어나요. 미지수가 x, y, z 세 개있는 일차방정식 세 개를 묶은 연립일차방정식이지요.
연립방정식을 푸는 방법으로 가감법과 대입법을 공부했어요. x, y중 한 미지수의 계수의 절댓값을 똑같게 해서 식을 더하고 빼는 게 가감법, 두 식 중 한 식을 한 문자에 대하여 정리해서 다른 식에 대입하는 게 대입법이었지요.
미지수가 3개인 연립일차방정식
연립방정식을 풀 때 가장 중요한 것은 미지수의 개수를 줄이는 것이에요. 미지수의 개수가 2개인 연립일차방정식은 우리가 풀 수 있잖아요. 그래서 미지수의 개수가 3개인 연립방정식은 우리가 풀 수 있는 형태로 바꿔서 풀어요.
미지수의 개수 줄이기
미지수가 3개인 연립일차방정식
→ 미지수가 2개인 연립일차방정식으로 변환
→ 미지수가 1개인 일차방정식으로 변환
그럼 미지수의 개수를 어떻게 줄이느냐? 바로 가감법과 대입법으로 줄이죠.
다음 연립방정식의 해를 구하여라.
미지수 2개인 연립일차방정식인데, 연습 삼아 풀어보죠. y의 계수의 절댓값이 같고 부호가 반대니까 두 식을 더하면 되겠네요.
3x = 6
x = 2
x = 2를 두 식 중 아무 식에나 대입해요.
2 - y = 1
y = 1
x = 2, y = 1이라는 해를 구했어요.
가감법을 통해서 x, y 2개의 미지수 중 y를 없앴더니 남은 x의 값을 구할 수 있었어요. 그리고 x를 원래 식에 대입해서 y의 값을 구했지요.
이번에는 미지수가 3개이고 식도 3개인 연립일차방정식을 풀어보죠.
미지수가 x, y, z 세 개이고, 식이 세 개예요. 위에서부터 차례대로 ①, ②, ③식이라고 해보죠.
세 식을 더하거나 빼서 미지수의 개수를 줄여야 해요. 한 번의 계산으로 미지수의 값을 구할 수 없어요. 일단 미지수가 3개니까 2개로 줄여야 해요. 세 식 중에서 아무거나 두 개를 고르세요. ①, ②를 골라보죠. y의 계수의 절댓값이 같고 부호가 반대네요. 가감법으로 두 식을 더하면 y가 없어지고, x, z 두 개의 미지수만 남겠죠?
x + y - z = 0 … ①
2x - y + 3z = 9 … ②
3x + 2z = 9 … ① + ② = ④
다음은 문제에서 또 두 개의 식을 골라요. ①, ③을 골라보죠. 앞에서 y를 없앴죠? 그럼 여기서도 y가 없어지도록 가감법을 해요. y를 없애려면 ① × 2 - ③을 해야겠네요.
2x + 2y - 2z = 0 … ① × 2
x + 2y + z = 8 … ③
x - 3z = -8 … ① × 2 - ③ = ⑤
④, ⑤ 식을 보면 x, z만 있는 연립방정식이에요. 미지수가 두 개인 것은 금방 해결할 수 있죠?
3x + 2z = 9 … ④
3x - 9z = -24 … ⑤ × 3
11z = 33 … ④ - ⑤ × 3
z = 3
z = 3을 ⑤에 대입하면 x = 1
x = 1, z = 3을 원래 식 중 아무 식에나 대입해요. ①에 대입하면 y = 2네요.
x = 1, y = 2, z = 3이 답이에요.
미지수가 3개인 연립일차방정식의 풀이법이에요. 상당히 복잡하지만 하나씩 따지고 보면 어렵지는 않아요. 가감법으로 미지수의 개수를 줄여나간다는 것만 잘 기억하세요.
- 세 식 중 두 식을 선택해서 가감법을 이용하여 한 문자를 제거
⇒ 미지수의 개수를 2개로 - 다른 두 식을 선택해서 가감법을 이용하여 ①에서 제거한 것과 같은 문자를 제거
⇒ 미지수의 개수를 2개로 - ①, ②에서 만들어진 두 식을 연립하여 미지수의 값을 구함
⇒ 미지수가 2개인 연립방정식의 풀이 - ③에서 구한 두 미지수의 값을 원래 식 중 하나에 대입하여 나머지 미지수를 구함
⇒ 마지막으로 구하는 미지수는 ①, ②에서 제거한 미지수
다음 연립방정식을 풀어라.
순서대로 ①, ②, ③이라고 할게요.
①, ③을 골라서 z를 없애보죠.
2x + y - z = 8 … ①
3x + 2y + z = 11 … ③
5x + 3y = 19 … ① + ③ = ④
이번에는 ②, ③을 골라볼까요. 앞에서 z를 없앴으니 여기서도 z를 없애야 해요.
x - y + 3z = -4 … ②
9x + 6y + 3z = 33 … ③ × 3
-8x - 7y = -37 … ② - ③ × 3 = ⑤
④, ⑤식은 x, y만 있는 연립방정식이니까 풀 수 있어요.
35x + 21y = 133 … ④ × 7
-24x - 21y = -111 … ⑤ × 3
11x = 22 … ④ × 7 + ⑤ × 3
x = 2
x = 2를 ④에 대입하면 y = 3
x = 2, y = 3을 ①에 대입하면 z = -1
x = 2, y = 3, z = -1이 답이네요.
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