우리가 지금까지 공부했던 방정식에서는 미지수의 개수와 식의 개수가 같았어요. 차수와 상관없이 미지수가 x 하나이면 식은 한 개만 있어도 됐어요. 연립방정식에서 미지수가 x, y 두 개면 식은 두 개, 미지수가 x, y, z 세 개였다면 식은 세 개였고요. 식이 더 많은 건 상관없어요. 식을 골라서 사용하면 되니까요.
그런데 이글에서 공부할 부정방정식은 미지수의 개수가 식의 개수보다 많아요. 미지수는 x, y 두 개인데, 식은 한 개밖에 없지요. 이처럼 미지수의 개수가 식의 개수보다 많은 부정방정식을 어떻게 풀어야하는지 알아보죠.
부정방정식
부정방정식은 미지수의 개수보다 식의 개수가 적어 근이 무수히 많아 근을 정할 수 없는 방정식을 말해요. 방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정과 불능에서 부정은 근이 무수히 많을 때라고 했어요.
해가 무수히 많으면 딱 찍어서 '이게 해입니다.' 할 수 없잖아요. 부정방정식의 부정은 '아니다'는 뜻의 부정(不正)이 아니라 '일정하지 않다'는 뜻의 부정(不定)이라는 거 잊지 마세요.
따라서 부정방정식의 해를 딱 정해서 얘기하려면 식이 아닌 다른 조건이 더 주어져야 하는데 그게 바로 근의 종류예요. 근이 실수인지 정수인지 알려주는 거죠.
부정방정식
(식의 개수) < (미지수의 개수)
근에 대한 자연수, 정수, 실수 조건
정수 조건이 주어진 부정방정식
방정식이 주어지고, 해가 정수라는 조건이 있다면 그 방정식을 (일차식) × (일차식) = (정수) 꼴로 바꿔서 풀어요. 어떤 두 수를 곱해서 정수가 되는 경우를 순서쌍으로 나타내고 각 일차식이 순서쌍의 숫자에 해당할 때 미지수의 값을 구하는 거죠.
곱의 형태로 바꿀 때는 대부분 인수분해를 이용하면 돼요. 하지만 때에 따라서는 주어진 식을 그대로 이용하면 안 되고, 숫자를 더하거나 빼서 변형해야 하는 경우도 있어요. 인수분해가 바로 되지 않을 때는 이런 것도 고려하세요.
정수 조건이 주어진 부정방정식
(일차식) × (일차식) = (정수)로 변형
순서쌍을 만들어 미지수의 값을 구함
다음 식을 만족하는 정수 x, y를 구하여라.
(1) xy = 1
(2) xy + x + y + 1 = 2
(3) xy + x + y = 1
(1)은 이미 곱의 형태로 되어 있네요. 어떤 두 수를 곱해서 1이 되는 순서쌍은 (1, 1), (-1, -1)이에요. 따라서 해는 x = 1, y = 1 or x = -1, y = -1이에요.
(2)번은 곱의 꼴로 바꿔야 해요. 인수분해를 해보죠.
xy + x + y + 1 = 2
x(y + 1) + y + 1 = 2
(x + 1)(y + 1) = 2
순서쌍을 구해보면 아래 표처럼 나타낼 수 있어요.
| x + 1 | 1 | -1 | 2 | -2 |
| y + 1 | 2 | -2 | 1 | -1 |
x + 1 = 1일 때, y + 1 = 2이므로 x = 0, y = 1이에요.
이런 식으로 구해보면 (0, 1), (-2, -3), (1, 0), (-3, -2)가 해입니다.
(3)은 좌변이 인수분해가 되지 않아요. 그래서 인수분해가 되도록 숫자를 더해주거나 빼줘야 하죠.
xy + x + y = 1
x(y + 1) + y = 1
x(y + 1) + y + 1 = 2 (∵ 양변 + 1)
(x + 1)(y + 1) = 2
(2)번과 똑같죠? 여기서는 숫자를 더해주고 빼주고 하는 게 중요해요. 하나 더 해보죠.
xy - 3x + y - 10 = 0
x(y - 3) + y - 10 = 0
x(y - 3) + (y - 3) - 7 = 0 (∵ -10 = -3 - 7)
(x + 1)(y - 3) = 7
이렇게 바꾸는 연습을 좀 많이 하세요.
실수 조건이 주어진 부정방정식
실수 조건이 주어진 경우에는 단순 곱으로는 해결이 안 되요. xy = 1을 만족하는 실수는 너무 많아요. 그래서 단순히 곱이 아닌 제곱의 합으로 나타내야 해요.
실수 조건이 주어진 부정방정식
a2 + b2 = 0의 꼴로 변형
a = 0, b = 0을 만족하는 미지수 구하기
실수는 제곱하면 무조건 0보다 크거나 같아요. 순허수는 제곱하면 0보다 작죠. 이걸 이용하는 거예요. 어떤 실수를 제곱해서 더했더니 0이 되었다는 말은 두 실수가 모두 0이라는 거예요. 0보다 크거나 같은 두 수를 더해서 0이 되려면 둘 다 0일 때 빼고는 없으니까요.
a, b는 숫자일 수도 있고, 완전제곱식일 수도 있어요.
a2 + b2 = 0 ⇔ a = 0 and b = 0
다음 식을 만족하는 실수 x, y를 구하여라.
(1) (x - 2)2 + y2 = 0
(2) x2 + 5y2 - 4xy - 2y + 1 = 0
실수 조건이 주어진 부정방정식은 문제를 완전제곱식 또는 숫자의 제곱의 합으로 바꿔서 풀어야 해요.
(1) 이미 완전제곱식의 합꼴로 되어 있네요.
x - 2 = 0이므로 x = 2
y = 0
(2)번은 식이 조금 복잡한데요. x에 대해서 내림차순으로 정리해보죠.
x2 + 5y2 - 4xy - 2y + 1 = 0
x2 - 4xy + 5y2 - 2y + 1 = 0
x2 - 4xy + 4y2 + y2 - 2y + 1 = 0 (∵ 5y2 = 4y2 + y2)
(x - 2y)2 + (y - 1)2 = 0
x - 2y = 0, y - 1 = 0에서 x = 2, y = 1
여기서는 5y2 = 4y2 + y2으로 나누는 게 중요하네요.
다음 식을 만족하는 정수 x, y를 구하여라.
x2 - 2x + y2 - 4y + 5 = 10
좌변을 정리해보죠.
x2 - 2x + y2 - 4y + 5 = 10
x2 - 2x + 1 + y2 - 4y + 4 = 10 (∵ 5 = 1 + 4)
(x - 1)2 + (y - 2)2 = 10
일단 5 = 1 + 4로 나누어 완전제곱식의 상수로 이용했어요.
그런데, 좌변은 완전제곱식의 합이 되었는데 우변이 0이 아니에요. 우변 = 0이어야 (완전제곱식) = 0으로 해를 구할 수 있잖아요.
문제에서 x, y가 정수라고 했어요. (정수)2은 자연수죠? 어떤 두 자연수를 더해서 10이 되어야하는데, 이 두 자연수는 제곱인 수예요. 따라서 이 두 자연수는 1, 9일 수밖에 없어요.
(x - 1)2 = 1, (y - 2)2 = 9 or (x - 1)2 = 9, (y - 2)2 = 1이에요.
x - 1 = ±1, y - 2 = ±3 or x - 1 = ±3, y - 2 = ±1
| x - 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | 3 | 3 | -3 | -3 |
| y - 2 | 3 | -3 | 3 | -3 | 1 | -1 | 1 | -1 |
x - 1 = 1 일 때, y - 2 = 3이므로 x = 2, y = 5
이렇게 다 풀어보면 (2, 5), (2, -1), (0, 5), (0, -1), (4, 3), (4, 1), (-2, 3), (-2, 1)이 되네요.
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