이제부터는 방정식에 대해서 공부할 거예요.

방정식은 미지수가 있어서 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고, 거짓이 되기도 하는 식을 말하죠. 방정식은 미지수의 차수에 따라 일차방정식, 이차방정식으로 나눠요. 문제에서는 "일차방정식 …을 풀어라" 혹은 "이차방정식 …을 풀어라" 이런 식으로 나오는데, 가끔 그렇지 않은 경우가 있어요.

이 글에서는 차수를 알려주지 않은 그냥 방정식 ax + b = 0의 해를 구하는 방법과 부정, 불능이라는 용어에 대해서 알아볼 거예요.

방정식 ax + b = 0의 풀이

ax + b = 0에서 b를 이항하면 ax = -b가 되죠.

이때, a ≠ 0이면, x가 남게 되어서 x에 대한 일차방정식이 되고, 해는 양변을 a로 나눠서 x = -b/a죠.

그런데, a = 0이면 어떻게 될까요? a = 0이면 미지수 x가 없어지니까 일차식은 아니에요. a = 0으로는 양변을 나눌 수 없으니까 일반적인 방법과 다르게 해를 구해야 해요. 두 가지 경우로 나눠서 생각해보죠.

a = 0이고 b = 0일 때에요. 이때는 0·x = 0이 되어서 좌변과 우변이 모두 0으로 같아요. x에 어떤 수가 들어가도 식이 성립하는 항등식이 되죠. 이 경우를 해가 너무 많아서 정의할 수 없기 때문에 부정이라고 합니다.

a = 0이고 b ≠ 0일 때는 0·x = b가 되어서 좌변은 0인데, 우변은 0이 아닌 수가 돼요. x에 어떤 수가 들어가도 성립하지 않게 되고, 해가 하나도 없어요. 이런 경우를 불능이라고 합니다.

방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정, 불능

문제에서 방정식의 차수를 알려주지 않았을 때는 x의 계수가 0인지 아닌지 확인하고, x의 계수가 0이면 상수항이 0일 때와 아닐 때 두 가지 경우를 모두 알아봐야 해요.

해가 특수한 연립방정식에서 해가 무수히 많은 경우와 해가 하나도 없는 경우를 봤는데, 그거랑 비슷하다고 생각하면 돼요.

방정식 a2x + 1 - ax - a = 0의 해를 구하여라.

문제에 일차방정식이 아니라 그냥 방정식이라고 했으니 x의 계수가 0일 수도 있고, 아닐 수도 있어요. 두 가지 경우를 모두 생각해야 합니다. 또 x의 계수가 0일 경우에는 상수항이 0인지 아닌지도 알아봐야 하고요.

a2x + 1 - ax - a = 0
a2x - ax = a - 1
(a2 - a)x = a - 1
a(a - 1)x = a - 1

  • x의 계수 a(a - 1) ≠ 0 일 때, 즉 a ≠ 0이고 a ≠ 1일 때
    a(a - 1)x = a - 1
    x = 1/a
  • x의 계수 a(a - 1) = 0일 때, 즉 a = 0 or a = 1일 때
    • a = 0이면 상수항 a - 1 ≠ 0 이므로
      0·x = -1
      해가 하나도 없다. 불능
    • a = 1이면 상수항 a - 1 = 0이므로
      0·x = 0
      해가 무수히 많다. 부정

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정리해볼까요

방정식 ax + b = 0의 해 → ax = -b

  • a ≠ 0일 때, x = -b/a
  • a = 0일 때
    • b ≠ 0 일 때, 0·x = b → 해가 하나도 없다. 불능
    • b = 0일 때, 0·x = 0 → 해가 무수히 많다. 부정
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