이번에는 일차방정식 중에서 절댓값 기호를 포함한 일차방정식이에요. 절댓값 기호 안에 일차식이 들어있는 경우죠.
절댓값 기호를 풀 때는 절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때의 두 가지 경우로 나눠서 풀어야 해요. 여기서는 절댓값 기호 안이 x에 관한 식이므로 식의 부호뿐 아니라 x의 범위도 구해야 합니다.
그런데 실제로 계산을 할 때는 x의 범위에 대해 고려하지 않아도 돼요. 왜 그런지 알아볼 거예요. 그리고 양변 모두에 절댓값을 포함한 일차식이 있을 때는 어떻게 해야 하는지도 알아보죠.
절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이
절댓값 기호 안에 일차방정식이 들어있을 때는 절댓값과 절댓값의 성질에서 했던 것과 같은 방법으로 절댓값 기호를 없애서 방정식을 풀어요.
- 절댓값 안의 식이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때 두 가지 경우로 나눈다.
- ①을 이용하여 x의 범위를 구한다.
- 각 범위에 맞게 절댓값 기호를 푼다.
- 일차방정식의 해를 구한다.
- 일차방정식의 해가 ②에서 구한 x의 범위에 맞는지 확인
- 해가 조건을 만족하는 경우에만 일차방정식의 해
|2x + 4| = 6일 때, 방정식의 해를 구하여라.
절댓값 기호 안의 식 2x + 4가 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때로 나눠보죠.
2x + 4 ≥ 0일 때, 즉 x ≥ -2일 때,
|2x + 4| = 6
2x + 4 = 6
2x = 2
x = 1
x = 1은 x ≥ -2를 만족하므로 |2x + 4| = 6의 해가 될 수 있어요.
2x + 4 < 0일 때, 즉 x < -2일 때
|2x + 4| = 6
-2x - 4 = 6
2x = -10
x = -5
x = - 5는 x < -2를 만족하므로 해가 될 수 있어요.
|2x + 4| = 6의 해는 x = -5, 1 입니다.
사실 이렇게 범위를 나눠서 하는 게 정석이긴 해요. 하지만 어떤 식이 나오고 x의 범위가 어떻게 바뀌든 상관없이 일차방정식을 풀어서 구한 해는 무조건 범위를 만족해요. 그래서 범위를 나눠서 할 필요가 없어요.
|ax + b| = m (m > 0)이라고 하면
1. ax + b > 0일 때,
|ax + b| = m
ax + b = m
ax = m - b
x = 
ⅰ) a > 0이면 ax + b > 0 → x > -
m > 0이고 a > 0이므로
즉 x =
ⅱ) a < 0이면 ax + b > 0 → x ≤ -
m > 0이고 a < 0이므로
즉 x =
2. ax + b < 0일 때,
|ax + b| = m
-(ax + b) = m
ax + b = -m
ax = -m - b
x = -
ⅰ) a > 0이면 ax + b < 0 → x < -
m > 0이고 a > 0이므로
즉 x = -
ⅱ) a < 0이면 ax + b < 0 → x > -
m > 0이고 a < 0이므로
즉 x = -
|ax + b| = m이라는 식은 ax + b = m 이나 -(ax + b) = m이 되겠죠? 두 번째 식의 양변에 (-1)을 곱하면 ax + b = -m이 돼요.
결론을 말하면 절댓값 기호를 포함한 일차방정식에서는 범위를 나눌 필요 없이 절댓값 기호는 그냥 풀고, 우변의 상수항에 ±을 붙여서 바로 계산하면 된다는 거예요.
|2x + 4| = 6
2x + 4 = ±6
2x + 4 = 6 → x = 1
2x + 4 = -6 → x = -5
조금 더 간단하게 해를 구할 수 있죠?
위에서는 우변에 상수항이었는데, 우변이 또 다른 절댓값 기호를 포함한 일차방정식이라면 어떻게 될까요? 상관없어요. 좌변은 절댓값 기호를 그냥 풀고, 우변에 ± 기호를 붙여서 절댓값 기호를 풀면 돼요. "x 범위를 나누지 않아도 되는 이유 보기"를 펼친 것과 크게 다르지 않아서, 증명은 생략합니다.
|ax + b| = m (m > 0) → ax + b = ±m
|ax + b| = |cx + d| → ax + b = ±(cx + d)
다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) |x + 4| + 3 = 7
(2) |2x + 3| = |x - 6|
(1)번은 먼저 (절댓값 기호를 포함한 일차방정식) = (상수항) 꼴로 바꿔줘야 해요. 그다음 절댓값은 그냥 풀고 상수항에 ±를 붙여주는 거죠.
|x + 4| + 3 = 7
|x + 4| = 4
x + 4 = ±4
x + 4 = 4 → x = 0
x + 4 = -4 → x = -8
(2)번은 좌변은 그냥 절댓값을 푸고, 우변은 ±을 붙여서 절댓값을 풀어요.
|2x + 3| = |x - 6|
2x + 3 = ±(x - 6)
2x + 3 = x - 6 → x = -9
2x + 3 = -(x - 6) → x = 1
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