절댓값이 뭔지는 알죠? 절댓값은 거리의 개념이기 때문에 0 또는 양수예요. 음수가 나올 수 없어요.

절댓값 기호가 들어있는 식을 푸는 방법은 절댓값 기호 안의 숫자에 따라 달라지는데, 왜 그런지, 숫자에 따라 어떻게 달라지는 지, 어떻게 풀어야 하는지 알아보죠.

똑같은 식이라도 주어진 조건에 따라 푸는 방법이 달라지니까 주어진 조건이 어떤 것인지도 잘 봐야 해요.

약간 복잡할 수 있는데, 절댓값의 개념만 잘 이해한다면 조금은 쉽게 다가갈 수 있어요.

절댓값

절댓값은 수직선 위에서 어떤 실수 a에 대응하는 점과 원점 사이의 거리예요. 거리니까 0또는 양수고요. 기호로는 |a|라고 써요.

만약에 a > 0이면 |a| = a에요. a = 0이면 |a| = a이죠.
a < 0일 때도 |a| = a일까요? 좌변 |a|은 양수, 우변 a는 음수가 돼서 등식이 성립하지 않아요. 이럴 땐 우변에 -1을 곱해서 |a| = -a가 되어야 해요.

절댓값

절댓값 기호 사이의 숫자나 문자가 0 또는 양수이면 기호를 그냥 없애주고, 음수이면 기호를 없앤 다음에 -를 붙여줘야 해요.

|a - b|
a - b ≥ 0 → |a - b| = a - b
a - b < 0 → |a - b| = -(a - b)

x < 3일 때 |x - 3| + 3 - x를 간단히 하여라.

x < 3 에서 3을 이항 → x - 3 < 0 → |x - 3| = -(x - 3)

|x - 3| + 3 - x
= -(x - 3) + 3 - x
= -x + 3 + 3 - x
= -2x + 6

x - 5 + |5 - x| 를 간단히 하여라.

이 문제가 위와 다른 이유는 x의 범위가 주어져 있지 않다는 거예요.

절댓값을 풀 때는 범위가 중요한데, 이게 빠져있으니까 우리가 범위를 직접 잡아줘야 해요. 이때 범위는 절댓값 부호 안의 숫자가 0이 되는 숫자를 기준으로 나누면 돼요. 5 - x < 0일 때와 5 - x ≥ 0일 때 두 가지 경우로 나눠서 구해야 하죠.

ⅰ) 5 - x < 0일 때, 즉 x > 5일 때,
5 - x  < 0 → |5 - x| = -(5 - x)
x - 5 + |5 - x|
= x - 5 - (5 - x)
= 2x - 10

ⅱ) 5 - x ≥ 0일 때, 즉 x ≤ 5일 때,
5 - x ≥ 0 → |5 - x| = 5 - x
x - 5 + |5 - x|
= x - 5 + 5 - x
= 0

답은 x > 5 일 때는 2x - 10, x ≤ 5일 때는 0 이렇게 둘 다 쓰면 됩니다.

이번에는 절댓값 기호가 두 개 들어있는 식을 계산해보죠.

3 < x < 5일 때, |x - 3| + |x - 5|을 간단히 하여라.

3 < x → x - 3 > 0 → |x - 3| = x - 3
x < 5 → x - 5 < 0 → |x - 5| = -(x - 5)
|x - 3| + |x - 5|
= x - 3 - (x - 5)
= 2

|x - 3| + |x - 5|을 간단히 하여라.

이번에도 범위가 없어요. 그래서 범위를 직접 잡아줘야 하는데, 절댓값이 두 개가 있잖아요. 각각에서 두 개씩 총 네 개의 범위가 나오는데, 이걸 수직선에 그려서 확인해보면 세 개가 되는 걸 알 수 있어요.

|x - 3|에서 x - 3 < 0 → x < 3일 때, x - 3 ≥ 0 → x ≥ 3일 때라는 범위가 생기고
|x - 5|에서 x - 5 < 0 → x < 5일 때, x - 5 ≥ 0 → x ≥ 5일 때라는 범위가 생겨요.

총 네 개의 범위가 생기는데, 이걸 연립부등식처럼 수직선에 표시해보세요.

겹치는 부분이 생기죠. 3 ≤ x < 5

따라서 x의 범위는 x < 3, 3 ≤ x < 5, 5 ≤ x의 세 가지가 돼요.

ⅰ) x < 3일 때
x - 3 < 0, x - 5 < 0이므로
|x - 3| + |x - 5|
= -(x - 3) - (x - 5)
= -x + 3 - x + 5
= -2x + 8

ⅱ) 3 ≤ x < 5일 때,
x - 3 ≥ 0, x - 5 < 0이므로
|x - 3| + |x - 5|
= x - 3 - (x - 5)
= 2

ⅲ) 5 ≤ x일 때
x - 3 > 0, x - 5 ≥ 0이므로
|x - 3| + |x - 5|
= x - 3 + x - 5
= 2x - 8

절댓값 풀기
절댓값 기호 안이 0이 되는 숫자를 기준으로 잡고, x가 기준보다 크거나 같을 때와 기준보다 작을 때로 나누어 푼다.
|x - a| → x < a, a ≤ x

절댓값이 두 개 있을 때: 절댓값 기호 안이 0이 되는 두 수를 적고, x가 작은 것보다 작을 때, 작은 것과 큰 것 사이, 큰 것보다 클 때의 세 가지 경우로 나눠서 절댓값을 푼다.
|x - a| + |x - b| 일 때, (a, b는 상수, a < b) → x < a, a ≤ x < b, b ≤ x

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정리해볼까요

절댓값: 수직선위의 점 a와 원점 사이의 거리

  • |a|
  • a ≥ 0 → |a| = a
  • a < 0 → |a| = -a

절댓값 풀기

  • 절댓값이 하나일 때: 절댓값 기호 안을 0으로 만드는 수보다 크거나 같을 때와 작을 때로 나누어 푼다.
  • 절댓값이 두 개일 때: 절댓값 기호 안을 0으로 만드는 두 수를 찾고, 작은 것보다 작을 때, 작은 것과 큰 것 사이, 큰 것보다 클 때로 나누어 푼다.