절댓값 기호를 포함한 부등식은 절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때로 나누어서 계산해요.

이 글에서는 절댓값 기호가 두 개 있을 때의 풀이법이에요. 한 개 있을 때와 마찬가지로 절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때와 작을 때로 나눠서 푸는데, 절댓값 기호가 두 개가 있으니까 총 네 가지 경우의 수가 생기겠죠?

절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이에서도 해봤던 내용이에요. 등호만 부등호로 바뀐 거니까 잘 이해하길 바라요.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이

절댓값과 절댓값의 성질의 성질에서 절댓값 기호가 있을 때는 절댓값 안이 0보다 크거나 같을 때 해와 0보다 작을 때로 나눠서 한다고 했죠? 특히 부등식이라면 두 가지 경우 해의 합집합이 답이고요.

{ (절댓값 안이 0 또는 양수일 조건)  해 } { (절댓값 안이 음수일 조건)  해 }

절댓값 기호가 두 개인 부등식에서는 조건의 개수만 많아진 것일 뿐 원리는 같아요.

절댓값 기호를 포함한 부등식은 아래와 같은 순서대로 문제를 풀어요.

  1. 절댓값안의 식이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때 두 가지 경우로 나눈다.
  2. ①을 이용하여 x의 범위를 구한다.
  3. 각 범위에 맞게 절댓값 기호를 푼다.
  4. 부등식의 해를 구한다.
  5. 부등식의 해가 ③에서 적용한 x의 범위 조건에 맞는지 확인
  6. 해가 조건을 만족시키는 경우에만 부등식의 해
  7. 각 범위에서 구한 모든 해가 문제의 답

|2x - 6| - |x - 6| > 0를 한 번 풀어보죠.

먼저 |2x - 6|부터 보죠.
2x - 6 ≥ 0 → x ≥ 3
2x - 6 < 0 → x < 3

이번에는 |x - 6|을 볼까요?
x - 6 ≥ 0 → x ≥ 6
x - 6 < 0 → x < 6

총 네 가지 경우가 생기는데, 이걸 수직선에 그려보면 아래처럼 돼요.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이 - 수직선

3과 6 사이에 겹치는 부분이 생기죠? 이 부분은 하나로 합치는 거예요. 원래는 범위가 네 개였는데, 세 개로 줄어든 거죠.

절댓값과 절댓값의 성질에서 했던 거 기억나나요? 절댓값 안이 0이 되게 하는 숫자들을 경계로 해서 범위를 나누면 돼요. 절댓값 안이 0이 되는 숫자는 3, 6이니까 이 두 수를 이용해서 범위를 구한 것과 같은 거죠.

x < 3, 3 ≤ x < 6, 6 ≤ x의 세 가지 경우의 해를 구해볼까요

  1. x < 3일 때 (2x - 6 < 0, x - 6 < 0)
    |2x - 6| - |x - 6| > 0
    -(2x - 6) + (x - 6) > 0
    -2x + 6 + x - 6 > 0
    -x > 0
    x < 0
    조건에서 x < 3이므로 ∴ x < 0
  2. 3 ≤ x < 6일 때 (2x - 6 ≥ 0, x - 6 < 0)
    |2x - 6| - |x - 6| > 0
    2x - 6 + (x - 6) > 0
    2x - 6 + x - 6 > 0
    3x - 12 > 0
    3x > 12
    x > 4
    조건에서 3 ≤ x < 6이므로 ∴ 4 < x < 6
  3. x ≥ 6 일 때 (2x - 6 > 0, x - 6 ≥ 0)
    |2x - 6| - |x - 6| > 0
    2x - 6 - (x - 6) > 0
    2x - 6 - x + 6 > 0
    x > 0
    조건에서 x ≥ 6이므로 ∴ x ≥ 6

세 가지 경우를 나눠서 각 조건에 맞는 해를 구했어요. 이 세 가지 해 모두가 문제의 답이에요. x < 0 or 4 < x < 6 or x ≥ 6이에요. 그런데 4 < x < 6과 x ≥ 6은 합칠 수 있겠죠?

따라서 답은 x < 0 or x > 4예요.

|x + 1| + |3 - x| - 6 > 0의 해를 구하여라.

|x + 1|부터 보죠.
x + 1 ≥ 0 → x ≥ -1
x + 1 < 0 → x < -1

이번에는 |3 - x|을 볼까요?
3 - x ≥ 0 → x ≤ 3
3 - x< 0 → x > 3

총 네 개의 범위가 생기는데, 겹치는 걸 하나로 합치면 x < -1, -1 ≤ x ≤ 3, 3 < x 세 가지 범위가 생겨요.

  1. x < -1 일 때 (x + 1 < 0, 3 - x > 0)
    |x + 1| + |3 - x| - 6 > 0
    -(x + 1) + 3 - x - 6 > 0
    -x - 1 + 3 - x - 6 > 0
    -2x - 4 > 0
    2x < -4
    x < -2
    조건에서 x < -1이므로 ∴ x < -2
  2. -1 ≤ x ≤ 3 일 때 (x + 1 ≥ 0, 3 - x ≥ 0)
    |x + 1| + |3 - x| - 6 > 0
    x + 1 + 3 - x - 6 > 0
    -2 > 0
    해 없음.
  3. x > 3일 때 (x + 1 > 0, 3 - x < 0)
    |x + 1| + |3 - x| - 6 > 0
    x + 1 - (3 - x) - 6 > 0
    x + 1 - 3 + x - 6 > 0
    2x - 8 > 0
    2x > 8
    x > 4
    조건에서 x > 3이므로 ∴ x > 4

세 가지 해가 모두 해이므로 x < -2 or x > 4가 답입니다.

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정리해볼까요

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이

  1. 절댓값안의 식이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때 두 가지 경우로 나눈다.
  2. ①을 이용하여 x의 범위를 구한다.
  3. 각 범위에 맞게 절댓값 기호를 푼다.
  4. 부등식의 해를 구한다.
  5. 부등식의 해가 ③에서 적용한 x의 범위 조건에 맞는지 확인
  6. 해가 조건을 만족시키는 경우에만 부등식의 해
  7. 각 범위에서 구한 모든 해가 문제의 답
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