부등식의 성질은 자주 해왔던 거니까 잊어버리지 않았을 거예요. 여기서는 부등식의 성질을 한 번 더 정리할게요. 부등식의 성질을 이용해서 계산하는 문제보다는 개념을 이해하고 있는지 물어보는 문제가 많이 나오니까 내용을 완전히 이해하지 못하면 문제를 풀 수가 없어요. 잘 정리해놓으세요.

그리고 방정식의 해를 구할 때 방정식의 양변을 서로 더하고 뺐었죠? 부등식에서도 양변을 서로 더하거나 뺄 수 있어요. 방정식에서의 가감법과 차이가 있는데, 부등식끼리의 사칙연산을 어떻게 하는 지 알아보죠.

부등식의 성질

중학교 때 부등식의 성질에 대해서 공부했어요. 고등학교에서의 부등식의 성질도 똑같아요.

허수와 허수단위에서는 대소관계를 얘기할 수 없으니까 부등식의 성질에서 사용하는 수는 모두 실수예요. 그래서 부등식의 성질은 실수의 대소관계에 대한 기본 성질과도 같아요.

세 실수 a, b, c에 대해서 아래와 같은 성질이 있어요.

  1. a > b, b > c ⇔ a > c
  2. a > b ⇔ a + c > b + c, a - c > b - c
  3. a > b이고 c > 0 ⇔ ac > bc,
  4. a > b이고 c < 0 ⇔ ac < bc,

이해 안 되는 건 없죠?

부등식의 성질에서 양변에 음수를 곱하거나 양변을 음수로 나눌 때만 부등호의 방향이 바뀌고 나머지는 부등호의 방향이 바뀌지 않아요.

부등호의 방향이 바뀌는 경우가 또 있는데요. 부호가 같은 두 수의 역수를 취할 때 부등호의 방향이 바꿔요. 하나는 양수고 하나는 음수라면 바뀌지 않아요. 양수인 쪽이 무조건 크니까요.

또 음수인 양변을 제곱할 때도 부등호의 방향이 바뀌어요.
-2 > -3 → (-2)2 < (-3)2

부등식끼리의 사칙연산

방정식의 양변을 더하거나 뺄 수 있죠? 부등식에서도 양변을 더하거나 빼요.

a < x < b, c < y < d 두 부등식을 볼까요?

먼저 덧셈부터 알아보죠.

두 부등식의 왼쪽에 있는 a < x, c < y만 보죠.

a < x 의 양변에 y를 더하면 a + y < x + y
c < y의 양변에 a를 더하면 a + c < a + y
따라서 a + c < x + y (∵ 부등식의 성질 1번)

이번에는 부등식의 오른쪽 x < b, y < d를 보죠.

x < b 의 양변에 y를 더하면 x + y < b + y
y < d의 양변에 b를 더하면 y + b < d + b
따라서 x + y < b + d (∵ 부등식의 성질 1번)

정리해보면 a < x < b, c < y < d를 더하면 a + c < x + y < b + d 가 돼요. 부등식끼리 더할 때는 작은 것끼리, 가운데끼리, 큰 것끼리 더하는 거죠.

부등식끼리의 차를 볼까요? x - y = x + (-y)로 바꿔서 계산할 수 있죠?

c < y < d 에 (-1)을 곱하면 부등호의 방향이 반대로 바뀌어요. -d < -y < -c

a < x < b와 -d < -y < -c를 더하면 a - d < x - y < b - c가 돼요.

부등식끼리의 사칙연산 - 합과 차

두 부등식을 세로로 놓고 계산하면 편해요. 덧셈은 그냥 아래로 더하고, 뺄셈은 한 번 꺾어서 빼주는 거죠.

곱과 나눗셈은 좀 달라요. 이건 공식이 없어요. 그냥 x의 경곗값과 y의 경곗값들을 서로 곱하거나 나눠서 가장 작은 값보다 크고, 가장 큰 값보다 작다고 해야 해요.

a < x < b, c < y < d에서 xy는 ac, ad, bc, bd의 값 중에서 가장 작은 값과 가장 큰 값의 사이라고 하면 돼요. 마찬가지로 는 중에 가장 작은 값과 가장 큰 값 사이라고 하면 되고요.

다만, 곱셈과 나눗셈에서는 a, b, c, d가 양수여야 해요. 덧셈과 뺄셈은 양수든 음수든 상관없어요.

1 ≤ x < 3, 5 < y ≤< 10일 때 다음의 범위를 구하여라.
(1) x + y
(2) x - y
(3) xy
(4)

여기서 주의해야 할 건 등호가 있는 것과 등호가 없는 걸을 잘 보세요. 1과 10 옆의 부등호에는 등호가 있어요. 따라서 이 두 개를 연산한 결과에만 등호를 넣어주고 다른 경우에는 등호를 쓰면 안 돼요.

(1) 덧셈은 작은 것끼리, 가운데끼리, 큰 것끼리 더하면 돼요.

1 + 5 < x + y < 3 + 10
6 < x + y < 13

(2) 뺄셈은 한 번 꺾어서 빼주는 거죠?

1 - 10 ≤ x - y < 3 - 5
-9 ≤ x - y < -2

1과 10 옆의 부등호에는 등호가 있으니까 이 둘을 연산한 결과에 등호를 넣어줬어요.

(3) 곱셈인데 이건 공식이 없어요. x, y의 경계에 있는 수들을 곱해서 가장 작은 것과 가장 큰 것을 찾아야 해요. 일단 x에서는 1과 3을 가져오고, y에서는 5, 10을 가져와요.

xy 1 (등호) 3
5 5 15
10 (등호) 10 30

네 수를 구했는데, 이 중에 5가 가장 작고, 30이 가장 커요. 따라서 답은  5 < xy < 30

(4) 나눗셈이에요. 곱셈과 마찬가지로 경곗값들의 나눗셈을 해봐야 해요.

1 (등호) 3
5
10 (등호)

네 수 중 가장 작은 것과 가장 큰 것의 사이에 있으니까 답은

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정리해볼까요

부등식의 성질: 세 실수 a, b, c에 대하여

  1. a > b, b > c ⇔ a > c
  2. a > b ⇔ a + c > b + c, a - c > b - c
  3. a > b이고 c > 0 ⇔ ac > bc,
  4. a > b이고 c < 0 ⇔ ac < bc,

부등식끼리의 사칙연산

  • a < x < b, c < y < d일 때
  • a + c < x + y < b + d
  • a - d < x - y < b - c
  • xy, 는 경곗값들을 계산한 후 가장 작은 것과 가장 큰 것 사이(단, a, b, c, d가 양수일 때)
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