부등식이란 무엇인지 이해하셨나요?

부등식을 이해할 때 등식과 비교해서 이해하면 좀 더 쉽게 이해할 수 있어요. 등식과 부등식은 이름에서 알 수 있듯이 사촌(?) 관계에요. 등호 대신 부등호를 사용하는 게 부등식이죠.

부등식과 등식이 비슷한 부분이 있는데, 같은 부분은 그대로 이해하면 되고, 다른 부분만 조금 더 생각하면 돼요. 두 가지 빼면 등식의 성질과 완전히 같아요. 등식의 성질을 다 알고 있겠지만 한 번 더 정리해보죠.

등식의 성질

  1. 등식의 양변에 같은 수를 더해도 등식은 성립한다.
    a = b이면 a + c = b + c
  2. 등식의 양변에서 같은 수를 빼도 등식은 성립한다.
    a = b이면 a - c = b - c
  3. 등식의 양변에 같은 수를 곱해도 등식은 성립한다.
    a = b이면 ac = bc
  4. 등식의 양변을 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.
    a = b이면 a ÷ c = b ÷ c (c ≠ 0)

등식에서는 양변에 같은 수를 더하거나 빼거나 곱하거나 나누어도 등식은 성립하는 성질이 있어요. 부등식에도 비슷한 성질이 있어요.

부등식의 성질

부등식의 양변에 똑같은 수를 더할 때: 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.

8 > 4라는 부등식을 이용해보죠.

위 부등식의 양변에 똑같이 2를 더해볼까요? 8 + 2 > 4 + 2는 10 > 6이 되어서 부등호의 방향이 그대로예요. 양변에 음수를 더해볼까요? 8 + (-2) > 4 + (-2)을 하면 6 > 2이 되어서 부등호의 방향은 역시 바뀌지 않아요.

부등식의 양변에서 똑같은 수를 뺄 때: 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.

이번에는 양변에서 같은 수를 빼보죠. 2를 빼 볼게요. 8 - 2 > 4 - 2는 6 > 2가 되어서 부등호가 그대로예요. 음수를 빼 볼게요. 8 - (-2) > 4 - (-2)은 10 > 6이 되어서 마찬가지로 부등호가 그대로군요.

부등식의 양변에 똑같은 수를 곱할 때: 양수를 곱하면 그대로, 음수를 곱하면 바뀐다.

자 이번에는 같은 수를 곱해볼게요. 8 × 2 > 4 × 2은 16 > 8이 되어서 부등호가 그대로예요. 음수를 곱해보죠. 좌변은 8 × (-2) = -16, 우변은 4 × (-2) = -8이 돼요. 부등호가 어떻게 되어야 하죠? -16 < -8처럼 부등호가 바뀌어야 참이죠?

부등식의 양변을 똑같은 수로 나눌 때: 양수로 나누면 그대로, 음수로 나누면 바뀐다.

나누기를 해보죠. 8 ÷ 2 > 4 ÷ 2 는 부등호 방향이 그대로예요. 음수인 (-2)로 나눠볼까요? 8 ÷ (-2)과 4 ÷ (-2) 중 어떤 게 더 큰가요? -4 < -2가 되어야 참이 되네요.

위의 내용을 다 이해했다면 이것만 기억하세요.

부등식의 성질
부등식의 양변에 음수를 곱하거나 음수로 나눌 때만 부등호의 방향이 바뀐다. 그 외에는 그대로이다

a < b일 때 다음 괄호에 알맞은 부등호를 넣어라.
(1) a+5 (    ) b+5
(2) a-3 (    ) b-3
(3) 10a (    ) 10b
(4) -2a (    ) -2b
(5) -5a + 9 (    ) -5b + 9

(1)에서 a < b 이고, 양변에 같은 수인 5를 더했으므로 부등호의 방향은 바뀌지 않고, 그대로 즉, a + 5 < b + 5가 되고요.

(2)도 마찬가지로 양변에서 같은 수를 뺐으므로 부등호의 방향이 그대로예요. a - 3 < b - 3

(3)은 양변에 양수인 10을 곱했으니까 부등호의 방향이 그대예요. 10a < 10b

(4)는 양변에 음수인 -2를 곱했어요. 그러니까 부등호의 방향이 바꿔야겠죠? -2a > -2b

(5)에는 항이 두 개가 되었는데, a, b의 계수가 바뀐 것 즉, -5를 곱해준 계산이 먼저예요. 음수인 -5를 곱했으니 부등호가 바뀌겠죠? -5a > -5b가 돼요. 거기에 양변에 9를 더했으니까 부등호의 방향은 그대로 즉, -5a + 9 > -5b + 9가 돼요.

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정리해볼까요

부등식의 성질

  1. 부등식의 양변에 같은 수를 더해도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.
    a > b일 때 a + c > b + c
  2. 부등식의 양변에서 같은 수를 빼도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.
    a > b일 때 a - c > b - c
  3. 부등식의 양변에 같은 수를 곱할 때
    • 양수를 곱하면 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.
      a > b일 때 ac > bc (c > 0)
    • 음수를 곱하면 부등호의 방향이 바뀐다.
      a > b일 때 ac < bc (c < 0)
  4. 부등식의 양변을 같은 수로 나눌 때
    • 양수로 나누면 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.
      a > b일 때 a ÷ c > b ÷ c (c > 0)
    • 음수로 나누면 부등호의 방향이 바뀐다.
      a > b일 때 a ÷ c < b ÷ c (c < 0)
 
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