이제부터 부등식에 대해서 공부할 거예요.
부등식을 공부하기 전에 먼저 1학년 때 공부했던 등식을 한 번 짚고 넘어갈게요.
등식이라는 건 등호(=)를 가운데 두고, 등호 양쪽에 숫자와 식을 써서 양쪽이 서로 같음을 나타내는 식이죠.
부등식은 등호 대신에 부등호 (>, <, ≥, ≤)를 가운데 두고 양쪽에 숫자와 식을 써서 크기를 비교하는 식이에요. 부등호의 사용에 대해서는 1학년 때 아주 잠깐 공부했었어요.
등식에서 등호 왼쪽에 있는 숫자와 식을 좌변이라고 하고 오른쪽에 있는 식을 우변이라고 해요. 부등식에서 똑같이 부등호의 왼쪽에 있는 식과 문자를 좌변이라고 하고 오른쪽에 있는 숫자와 식을 우변이라고 해요. 또 좌변과 우변을 한꺼번에 양변이라고 불러요.
| 등식 | 부등식 |
|---|---|
| = | > < ≥ ≤ |
| 서로 같다 | 크다, 작다, 크거나 같다, 작거나 같다. |
| 2 = 2 | 3 > 2 |
| x = 2 | x > 2 |
| x + 4 = 2 | x + 4 > 2 |
부등식의 표현
등식은 크기가 같은 것만 있어서 표현하기가 쉬워요. 하지만 부등호는 네 가지나 있으니까 그 각각의 부등호가 나타내는 뜻을 정확히 이해하는 게 중요해요.
| 표현 | A 기준 | B 기준 |
|---|---|---|
| A < B | A는 B보다 작다 A는 B 미만 |
B는 A보다 크다 B는 A 초과 |
| A > B | A는 B보다 크다 A는 B 초과 |
B는 A보다 작다 B는 A 미만 |
| A ≤ B | A는 B보다 작거나 같다 A는 B 이하 A는 B보다 크지 않다. |
B는 A보다 크거나 같다 B는 A 이상 B는 A보다 작지 않다 |
| A ≥ B | A는 B보다 크거나 같다 A는 B 이상 A는 B보다 작지 않다. |
B는 A보다 작거나 같다 B는 A 이하 B는 A보다 크지 않다 |
특히 "크지 않다"와 "작지 않다"에 주의하세요.
다음을 부등식으로 나타내시오.
(1) 어떤 수의 3배는 10보다 작다.
(2) 어떤 수의 7배에 2를 더한 것은 30보다 크지 않다
(1)에서 어떤 수를 모르니까 x라고 하면 어떤 수의 3배는 3x라고 할 수 있어요. 3x가 10보다 작으니까 부등호는 <를 사용해야겠네요. 그래서 답은 3x < 10이군요.
(2)는 마찬가지로 어떤 수의 7배니까 7x, 여기에 2를 더하면 7x + 2에요. 그런데 크지 않다는 건 뭘 뜻하죠? 작거나 같은 거예요. 그래서 부등호는 ≤를 써야겠죠. 7x + 2 ≤ 30이 되겠네요.
부등식의 참, 거짓
예를 들어서 3 > 2라는 부등식이 있어요. 이 부등식에서 좌변과 우변의 크기비교가 제대로 되었다면 이 부등식은 참이에요. 이 부등식은 참이네요.
그럼 3 ≥ 2라는 부등식은 어떨까요? 역시 참이네요.
3 < 2라는 부등식을 보죠. 3은 2보다 큰데 부등호는 "작다"를 나타내는 <가 쓰여 있네요. 부등식은 틀렸어요. 그래서 이때는 거짓이라고 해요.
부등식의 해
부등식의 해는 방정식의 해처럼 부등식이 참이 되게 하는 미지수의 값을 말해요.
부등식을 푼다는 말은 부등식이 참이 되게 하는 값, 즉 해를 구한다는 뜻이고요. 방정식에서도 사용했던 용어들이니 어렵지는 않죠?
부등식 x - 4 < 2 의 해를 모두 구하여라. (단, x는 자연수)
x가 자연수라고 했으니 x = 1부터 식에 대입해 보죠.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 식 | -3 < 2 | -2 < 2 | -1 < 2 | 0 < 2 | 1 < 2 | 2 < 2 | 3 < 2 |
| 참/거짓 | 참 | 참 | 참 | 참 | 참 | 거짓 | 거짓 |
위 표에서 보면 1 ~ 5까지는 부등식이 참이고, 6보다 크면 거짓이니까 이 부등식의 해는 x = 1 또는 x = 2 또는 x = 3 또는 x = 4 또는 x = 5네요.
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