방정식과 항등식, 등식의 뜻에서 등식과 방정식, 항등식에 대해서 공부했어요.

이제는 등식의 성질을 공부할 거예요. 등식의 특징이 있는데, 이 특징을 잘 이용하면 방정식의 해를 쉽게 구할 수 있거든요. 앞으로 배울 단원이 일차방정식인 걸 고려하면 이 등식의 성질은 앞으로 계속해서 사용할 아주 중요한 성질이라는 알 수 있겠죠?

그렇다고 성질을 공식처럼 외울 필요는 없어요. 그 의미를 제대로 파악하고 실제 식에서 사용할 수 있으면 돼요.

등식의 성질

등식에는 아주 중요한 성질이 있어요. 이 성질은 꼭 알고 있어야 합니다.

참인 등식은 등호(=) 양쪽에 있는 좌변과 우변이 같아요.

2 + 3 = 5는 참인 등식이죠. 이 등식의 양변에 4를 더해볼까요?
2 + 3 + 4 = 5 + 4

양변에 똑같이 4를 더하면, 좌변, 우변의 값은 9로 달라지지만, 양쪽 모두 9니까 서로 같은 건 그대로죠. 만약에 양변에 똑같이 4를 뺀다면 어떨까요? 값은 1이 되지만 양변 모두 1이니까 양변이 같은 건 그대로 에요.

즉, 참인 등식에서 양변에 같은 수를 더하거나 빼더라도 그 등식은 계속 참인 거죠.

양변에 같은 수를 더하거나 뺄 때뿐 아니라 같은 수를 곱하거나 나눌 때도 똑같아요. 이걸 등식의 성질이라고 해요.

등식의 성질

  1. 등식의 양변에 같은 수를 더해도 등식은 성립한다.
    a = b이면 a + c = b + c
  2. 등식의 양변에서 같은 수를 빼도 등식은 성립한다.
    a = b이면 a - c = b - c
  3. 등식의 양변에 같은 수를 곱해도 등식은 성립한다.
    a = b이면 ac = bc
  4. 등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.
    a = b이면 a ÷ c = b ÷ c (c ≠ 0)

한 가지 주의할 건 양변을 같은 수로 나눌 때 0으로 나누는 건 안 되요. 나눗셈은 분수로 바꿀 수 있는데, 분모가 0인 분수는 없으니까 0으로 나누는 경우는 없어요. 문제에서 "등식의 양변을 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다."라는 말이 나오면 틀린 거예요.

등식의 성질을 이용한 일차방정식의 풀이

등식의 성질이 왜 중요하면 방정식을 풀 때 이용하기 때문이에요.

방정식의 해를 구할 때, x = 1, 2, 3, …처럼 숫자를 하나씩 넣으면서 구할 수는 없어요. 해가 1, 2, 3안에 있으면 괜찮지만 100일 수도 있고, -1일 수도 있잖아요. 혹은 일 수도 있고요.

이때, 등식의 성질을 이용하면 방정식의 해를 조금 더 쉽게 구할 수 있어요.

4x + 2 = -10이라는 방정식이 있다고 해보죠. x = (숫자) 꼴로 나타내면 미지수 x의 값을 구할 수 있죠? 이 미지수 x의 값이 방정식의 해고요. 방정식의 좌변에 x만 남도록 식의 모양을 바꿔보죠.

4x + 2 = -10에서 좌변에서 일단 2를 없애보죠. 2를 없애려면 2를 빼면 되는데, 좌변에서 2를 빼면, 우변에도 똑같이 2를 빼줘야 등식이 성립해요.
4x + 2 = -10
4x + 2 - 2 = -10 - 2        (등식의 양변에서 똑같은 수를 빼도 등식은 성립한다.)
4x = -12

이제 좌변에 4x만 남았네요. 4x는 원래는 4 × x로 곱셈기호가 생략된 거예요. 4로 나눠주면 x만 남겠죠? 좌변을 4로 나누면 우변도 4로 나눠줘야 등식이 성립해요.
4x = -12
4x ÷ 4 = -12 ÷ 4           (등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.)
x = -3

해를 구했어요.

등식의 성질을 이용한 방정식의 풀이
x = (숫자) 꼴로 방정식의 모양을 바꾼다.
x가 없는 항을 먼저 정리하고, 마지막에 x의 계수로 양변을 나눈다.

등식의 성질을 이용하여 다음 방정식을 풀어라.
(1) -3x + 2 = 8
(2) 5x - 5 = 30

x = (숫자) 꼴로 방정식의 모양을 바꾸는데, 이때 등식의 성질을 이용해요.

(1)에서 먼저 2를 없앤 다음에, x에 곱해져 있는 (-3)을 없애야겠네요.
-3x + 2 = 8
-3x + 2 - 2 = 8 - 2
-3x = 6
-3x ÷ (-3) = 6 ÷ (-3)
x = -2

(2) 5x - 5 = 30
5x - 5 + 5 = 30 + 5
5x = 35
5x ÷ 5 = 35 ÷ 5
x = 7

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정리해볼까요

등식의 성질

  • 등식의 양변에 같은 수를 더해도 등식은 성립한다.
    a = b이면 a + c = b + c
  • 등식의 양변에서 같은 수를 빼도 등식은 성립한다.
    a = b이면 a - c = b - c
  • 등식의 양변에 같은 수를 곱해도 등식은 성립한다.
    a = b이면 ac = bc
  • 등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.
    a = b이면 a ÷ c = b ÷ c (c ≠ 0)

등식의 성질을 이용한 방정식의 풀이

  • x = (숫자) 꼴로 변경
  • x가 없는 항부터 없앤 후 마지막에 x의 계수로 양변을 나눔
 
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