이제까지 실수에 대해서 공부했는데, 이 글부터는 허수복소수라는 새로운 수의 체계를 공부합니다. 실수는 실제로 존재하는 수로 Real Number잖아요. 허수는 실제로 존재하지 않는 수에요.

복소수라고 부르는 수는 고등학교 교육과정에서 가장 넓은 수의 체계이며, 더는 새로운 수를 공부하지 않아요. 수의 체계로는 마지막이죠.

허수와 실수의 차이를 알아보고, 복소수는 어떻게 생긴 수이고, 어떤 특징이 있는지 알아보죠.

복소수가 같을 조건을 예제를 통해서 공부해봐요.

허수와 허수단위

1의 제곱근은 제곱해서 1이 되는 수로 ±1이고, 2의 제곱근은 제곱해서 2가 되는 수로 에요.

-1의 제곱근은 얼마일까요? 그런데 (실수)2 ≥ 0이니까 제곱해서 -1이 되는 실수는 있을 수 없죠. 중학교에서도 음수의 제곱근은 구하지 못한다고 공부했어요. 하지만 기호를 이용해서 억지로 만들어보면 ±허수단위 i이 될 거예요.

이 수는 실수가 아니라서 다른 수를 생각하게 된 거예요. 실제로 존재하지 않는 가짜 수라서 허수라고 해요. 영어로는 imaginary number라고 하고요.

허수에서 가장 기본이 되는 을 imaginary number의 첫 글자를 따서 i라고 표시하고, 허수단위라고 불러요.

주의하세요. 에요. 2i = 2이에요.

허수 단위 i를 이용해서 숫자를 표시할 수 있어요.

허수는 양수, 음수의 부호가 없어요. 부호가 없으니 크기 비교도 할 수 없고요. 2i가 3i보다 작다고 얘기해서는 안 돼요 어떤 것이 더 큰지 비교할 수 없어요.

복소수

실수와 허수가 섞여 있는 수를 생각해볼 수 있죠? 두 실수 a, b와 허수단위 i를 이용해서 a + bi 형태의 수를 만들 수 있는데, 이 수를 복소수라고 해요. 위의 예에서 허수단위 i를 이용해서 여러 수를 표현해봤는데, i앞에 있는 수는 다 실수죠?

복소수 a + bi에서 a를 실수부분, b를 허수부분이라고 해요.

복소수의 실수부분, 허수부분

복소수 a + bi에서 b = 0이면 실수부분인 a만 남죠? 이때가 바로 우리가 지금까지 공부해왔던 실수에요.

b ≠ 0이면 허수단위가 살아있어서 허수가 되는데, a = 0이면 허수부분인 bi만 남죠? 이때 bi를 순수하게 허수부분만 있는 수라고 해서 순허수라고 해요. 순허수는 제곱하면 음수가 되는 특징이 있어요. i는 -1의 제곱근이니까 제곱하면 -1이 돼요. 따라서 (bi)2 = b2i2 = -b2이죠.

b ≠ 0이고, a ≠ 0이면 실수부분과 허수부분이 모두 살아있죠? 이때를 순허수 아닌 허수라고 합니다. 정수 아닌 유리수와 비슷하죠?

복소수의 분류

(x2 - 2x - 8 + xi - 4i)를 제곱했더니 음수가 되었다. x의 값을 구하여라.

제곱했더니 음수가 되었다는 말은 이 수가 순허수라는 얘기예요. 즉 실수부분 = 0, 허수부분 ≠ 0이라는 거죠.

x2 - 2x - 8 + xi - 4i
= (x2 - 2x - 8) + (x - 4)i

주어진 수에서 실수부분이 0이 되는 x를 찾아보죠.
x2 - 2x - 8 = 0
(x - 4)(x + 2) = 0
x = 4, -2

그런데, 여기서 허수부분 x - 4 ≠ 0이니까 x = -2가 되어야 합니다.

복소수가 같을 조건

두 무리수 a + b과 c + d이 같으려면 유리수 부분은 유리수 부분끼리 같고, 무리수 부분은 무리수 부분끼리 같아야 하죠? a = c, b = d

두 복소수 a + bi와 c + di가 같으려면 마찬가지로 실수 부분끼리 같고, 허수 부분끼리 같아야 해요.

a + bi = c + di
 ↔ a = c, b = d

2x + 3y + 4i - 3x + 2yi = 0을 만족하는 x, y의 값을 구하여라.

일단 좌변을 실수부분과 허수부분으로 정리해볼 수 있어요. 그리고 0 = 0 + 0i으로 실수부분 = 0, 허수부분 = 0이므로 정리한 좌변과 비교하면 되겠죠.

2x + 3y + 4i - 3x + 2yi = 0
(2x + 3y - 3x) + (4 + 2y)i = 0
(-x + 3y) + (4 + 2y)i = 0

-x + 3y = 0, 4 + 2y = 0이므로 연립방정식 문제네요.

y = -2, x = -6

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정리해볼까요

허수단위: 제곱해서 -1이 되는 수

복소수 a + bi

  • 실수 (b = 0)
  • 허수 (b ≠ 0)
    • 순허수 (a = 0, b ≠ 0). 제곱하면 음수
    • 순허수 아닌 허수 (a ≠ 0, b ≠ 0)

복소수가 같을 조건: 실수부분끼리, 허수부분끼리 같아야 함.

  • a + bi = c + di ↔ a = c, b = d
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