복소수라는 수를 공부했으니까 이제 이 수를 이용해서 사칙연산을 해봐야겠죠? 복소수의 사칙연산은 제곱근의 사칙연산과 아주 비슷해서 금방 할 수 있을 거예요. 지금까지 해왔던 미지수가 들어있는 식의 계산법의 기본이 되는 동류항 계산을 살짝 응용하면 되거든요. 기본 원리만 기억하세요.
분모의 실수화라는 과정을 거치는데, 이건 분모의 유리화와 거의 같아요. 유리수가 실수로 숫자만 바뀐 것뿐이에요. 그리고 허수와 허수단위의 의미를 잘 파악하고 있다면 복소수의 곱셈도 어렵지 않을 거예요.
이미 여러 수의 체계에서 사칙연산을 연습해왔고, 복소수의 사칙연산도 이와 크게 다르지 않으니까 어렵게 느낄 필요는 없어요.
복소수의 사칙연산
복소수의 덧셈과 뺄셈
동류항의 덧셈과 뺄셈에서는 문자와 차수가 같은 항끼리 서로 더하고 뺐어요. 제곱근의 덧셈과 뺄셈에서도 근호부분을 하나의 문자로 취급해서 동류항 계산하는 것처럼 계산했고요.
복소수의 덧셈과 뺄셈도 같아요. 복소수는 a + bi의 형태로 되어있지요. 사칙연산을 할 때는 i를 하나의 문자로 취급해서 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 계산합니다.
a, b, c, d가 실수일 때
(3 + 4i) + (5 + 6i) = (3 + 5) + (4 + 6)i = 8 + 10i가 되는 거죠.
실수부분, 허수부분에 유리수, 무리수가 들어있을 수 있는데, 이때는 유리수끼리, 무리수끼리 나누어서 계산하면 됩니다.
복소수의 곱셈
복소수의 곱셈은 곱셈공식을 이용해서 전개하면 돼요.
(2 + 3i)(4 + 5i) = 8 + 22i + 15i2
그런데 허수와 허수단위에서 i는 -1의 제곱근이라고 했지요? 따라서 i2 = -1이에요. 대입에 보면
(2 + 3i)(4 + 5i)
= 8 + 22i + 15i2
= 8 + 22i - 15
= -7 + 22i
분모의 실수화
복소수의 나눗셈은 조금 어려워요.
제곱근의 나눗셈을 할 때, 분모의 유리화라는 걸 했어요. 곱셈공식의 합차공식을 이용했지요? 분모에서 무리수 앞의 부호를 반대로 바꾼 수를 분자, 분모에 곱해줬어요.
복소수의 나눗셈에서는 이와 비슷한 분모의 실수화라는 걸 해야 해요. 분모의 실수화는 이름처럼 분모를 실수로 만들어주는 거예요. 방법은 분모의 유리화와 비슷해요. 허수부분의 앞 부호를 반대로 바꿔서 분자, 분모에 곱해주는 거지요.
허수부분의 앞 부호를 반대로 바꾼 걸 켤레복소수라고 하죠? 결국, 분모의 켤레복소수를 분자, 분모에 곱해주는 걸 분모의 실수화라고 해요.
| 분모의 유리화 | 분모의 실수화 |
|---|---|
| 무리수인 분모를 유리수로 | 복소수인 분모를 실수로 |
| 분모의 무리수부분 앞 부호를 반대로 | 분모의 허수부분의 앞 부호를 반대로 (분모의 켤레복소수를 분자, 분모에 곱) |
다음을 간단히 하여라.
(1) (2 + i) - (3 - 2i)
(2) (3i + 4)(2 - 5i)
(3) (1 + i) ÷ (1 - i)
(1) 복소수의 덧셈은 i를 하나의 문자 취급해서 실수부분끼리, 허수부분끼리 나눠서 계산해요.
(2 + i) - (3 - 2i)
= (2 - 3) + (1 + 2)i
= -1 + 3i
(2) 복소수의 곱셈은 곱셈공식을 이용해서 전개하는데, i2 = -1이라는 걸 기억하세요.
(3i + 4)(2 - 5i)
= 6i + 8 - 15i2 - 20i
= 8 + 15 + 6i - 20i (∵ i2 = -1)
= 23 - 14i
(3) 복소수의 나눗셈은 분모의 실수화를 통해서 계산합니다.
함께 보면 좋은 글
복소수, 허수와 허수단위
켤레복소수, 켤레복소수의 성질
[중등수학/중1 수학] - 동류항, 동류항의 덧셈과 뺄셈
[중등수학/중3 수학] - 분모의 유리화