공부하는 게 하나씩 늘어나고 있네요.
왜냐하면, 이 단원이 앞으로 배울 수학에서 아주 기본이 되는 중요한 단원이에요. 앞으로 여러 가지 식을 공부할 텐데, 가장 기본이 되는 식을 배우는 과정이라서 용어도 많고, 지루한 내용이 계속되는 거예요.
하지만 기본이 되느니만큼 제대로만 해놓는다면 앞으로의 과정도 계속 헤쳐나갈 수 있는 거지요.
일차식의 곱셈과 나눗셈을 먼저 했는데, 이 글에서는 일차식의 덧셈과 뺄셈을 합니다. 그리고 동류항이라는 새로운 용어도 배울 거고요.
곱셈과 나눗셈보다는 조금 어려운 내용이니 주의해서 잘 보세요.
동류항, 동류항의 계산
동류항
동류항은 종류가 같은 항이라는 뜻이에요. 어떤 종류가 같다는 말일까요?
하나의 항에는 계수도 있고, 문자도 있고, 차수도 있어요. 동류항은 문자와 차수가 서로 같은 항을 말해요. 계수는 달라도 상관없어요.
2a2이라는 항이 있어요. 이 항에는 문자 a가 있고, 차수는 2에요. 3a2이라는 항도 문자 a가 있고, 차수가 2죠. 2a2과 3a2은 문자가 a로 같고, 차수도 2로 같아요. 그래서 이 두 항은 동류항이 되는 거죠.
4a라는 항은 문자가 a가 있어요. 하지만 차수가 1이라서 2a2과 동류항이 아니에요.
5b2을 보죠. 문자는 b고, 차수는 2에요. 2a2과 차수는 2로 같지만, 문자가 다르니까 동류항이라고 할 수 없어요.
6a2b를 보죠. 문자는 a와 b가 있어요. a의 차수는 2이고, b의 차수는 1이죠. 2a2는 차수가 2인 문자 a가 있어요. 6a2b에도 차수가 2인 문자 a가 있어서 둘은 동류항처럼 보이지만 b라는 문자가 있어서 동류항이 될 수 없어요.
| 2a2 | 3a2 | 4a | 5b2 | 6a2b | |
|---|---|---|---|---|---|
| 문자 | a | a | a | b | a와 b |
| 차수 | 2 | 2 | 1 | 2 | 2와 1 |
| 2a2와 동류항 |
- | O | X (차수 다름) |
X |
X (문자와 차수 다름) |
동류항의 덧셈과 뺄셈
덧셈과 뺄셈은 동류항끼리만 할 수 있어요. 동류항이 아닌 것끼리는 덧셈과 뺄셈을 하지 못합니다. 그러니까 계산을 할 때, 서로 동류항인지 잘 찾아내야 해요.
2a + 3a을 구해볼까요?
되게 복잡하죠. 간단하게 하는 방법을 알아볼까요?
단항식과 수의 곱셈과 나눗셈에서 단항식에 수를 곱할 때, 숫자끼리 곱하고 문자는 뒤에 붙여줬어요. 동류항의 계산에서도 같아요. 동류항의 계산에서도 숫자끼리 계산하고, 문자는 뒤에 그대로 붙여주면 돼요.
2a + 3a = (2 + 3)a = 5a 으로 간단하게 끝나죠?
뺄셈도 마찬가지예요. 5b - 2b = (5 - 2)b = 3b에요.
2a2 + 2a는 어떨까요? 두 항은 문자가 a로 같지만, 차수가 다르죠? 그래서 동류항이 아니에요. 동류항이 아니면 덧셈을 할 수 없어요. 그냥 그대로 둬야 해요.
동류항: 문자와 차수가 서로 같은 항
동류항의 계산: 숫자끼리 계산하고 문자는 그대로
다음을 간단히 하여라.
(1) 4a + 2a + 3a
(2) 5a + 3 + 3a - 4
덧셈과 뺄셈에서는 동류항을 찾는 게 제일 먼저 해야 할 일이에요. 동류항을 찾아서 그 계수끼리 연산을 하는 거지요.
(1)은 모든 항이 문자가 a이고, 차수가 1이에요. 세 항이 모두 동류항이죠.
4a + 2a + 3a = (4 + 2 + 3)a = 9a
(2) 항이 네 개인데, 5a와 3a가 동류항이고, 3와 -4가 상수항으로 동류항이에요. 따로따로 계산해야 해요.
5a + 3 + 3a - 4 = (5 + 3)a + (3 - 4) = 8a - 1
일차식의 덧셈과 뺄셈
일차식의 덧셈과 뺄셈에도 동류항 계산을 그대로 사용하면 돼요. 대신 항의 수가 늘어나고 조금 어려워졌어요.
괄호가 있는 경우
괄호가 있는 경우에는 분배법칙을 이용하는 전개해야 해요. 분배법칙으로 괄호를 전개한 다음 동류항끼리 모아서 따로 계산하는 거죠.
3(2a + 4) + 2(a - 1)
= 6a + 12 + 2a - 2 분배법칙을 이용하여 괄호를 전개
= 6a + 2a + 12 - 2 동류항끼리 모으기
= 8a + 10 계산
분배법칙을 할 때 괄호 앞의 숫자를 괄호 안의 모든 항과 곱해줘야 해요. 첫 번째 항에만 곱해주는 실수를 하지 마세요.
3(2a + 4) = 6a + 4 (X)
3(2a + 4) = 6a + 12 (O)
그리고 괄호 앞에 숫자가 없이 부호(+, -)만 있다면 1이 생략된 거로 생각하면 됩니다.
-(2a + 1) = (-1) × (2a + 1) = -2a - 1
분수꼴의 일차식의 덧셈과 뺄셈
분수꼴로 되어 있을 때는 통분을 해야 해요.
통분을 할 때 원래 있던 분자에 괄호를 치세요. 괄호를 이용하지 않으면 분자의 첫 번째 항에만 곱을 해주는 실수를 하게 되거든요. 위 예제의 두 번째 줄의 분자에 3(a + 1) 가 아니라 3a + 1로 쓰게 되면 결과가 달라지겠죠?
일차식의 덧셈과 뺄셈
괄호가 있는 계산: 분배법칙으로 전개한 후, 동류항끼리 묶어서 계산
분수꼴: 통분을 해야 하며, 이때 괄호를 이용
다음을 간단히 하여라.
(1) 3(a + 1) + 2(a - 2)
(2)
(1) 일차식의 덧셈과 뺄셈에서는 분배법칙을 이용해서 괄호를 전개한 후 동류항끼리 모아서 따로 계산합니다.
3(a + 1) + 2(a - 2)
= 3a + 3 + 2a - 4
= 3a + 2a + 3 - 4
= 5a - 1
(2) 분수꼴에서는 통분을 해야 하는데, 이때 원래 있던 분자에는 괄호를 꼭 치세요.
이 문제에서는 두 가지가 중요해요. 통분할 때 분자에 괄호를 쳐주는 것도 중요하지만 분수 앞의 (-)를 처리하는 것도 중요하죠. 분수 앞에 (-)도 역시 분배법칙을 이용해서 분자 전체에 곱해줘야 하는 (-)입니다.
두 번째 줄의 오른쪽 분수의 분자에서 -b - 3이라고 실수하지 말고, 괄호를 쳐서 -(b - 3)으로 쓰도록 하세요.
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