"짚신도 짝이 있다."라는 속담 들어본 적 있죠? 운동화는 오른쪽, 왼쪽 두 개가 한 쌍으로 다 있으면 운동화 한 켤레라고 불러요. 한 켤레가 있어야 운동화의 역할을 할 수 있죠?

복소수에서도 켤레라는 말을 써요. 켤레복소수라고 하는데, 두 개가 한 쌍이라는 것쯤은 눈치챌 수 있겠죠? 복소수에서는 어떤 수를 켤레복소수라고 하는지 알아볼 거예요.

운동화 한 켤레에서는 크기나 모양은 같은데, 방향만 반대잖아요. 켤레복소수 사이에도 같은 점과 다른 점이 있겠죠? 켤레복소수의 성질에 대해서도 알아봐요.

켤레복소수

복소수, 허수와 허수단위에서 복소수를 a + bi라고 표현한다고 했어요. a는 실수부분, b는 허수부분이죠.

허수부분의 부호를 반대로 바꾼 걸 켤레복소수라고 해요. a + bi의 켤레복소수는 a - bi죠.

일반적으로 복소수를 z로 표시해요. 복소수 z의 켤레복소수는 z 위에 선을 그어서 켤레복소수 - z bar라고 쓰고, "z bar"라고 읽죠.

z = a + bi
켤레복소수 -z bar =  = a - bi

켤레복소수 -z bar의 켤레복소수를 구해보죠. a - bi에서 허수부분의 부호만 반대로 바꾸니까 a + bi에요. 이거는 z죠? 즉 켤레복소수 -z bar의 켤레복소수 = z가 되는 걸 알 수 있어요. 마치 집합의 연산법칙에서 어떤 집합의 여집합의 여집합은 자기 자신이었던 것처럼요. (AC)C = A.

z = a + bi → 켤레복소수 -z bar = a - bi → = a + bi

결국 z와 켤레복소수 -z bar는 서로가 서로에게 켤레복소수에요.

켤레복소수: 복소수에서 허수부분의 부호만 반대로 한 복소수
서로가 서로에게 켤레복소수. a + bi ↔ a - bi
z의 켤레복소수: 켤레복소수 -z bar

다음 수의 켤레복소수를 구하여라.
(1) 3 + 2i
(2) 5i
(3) -3

켤레복소수는 허수부분의 부호를 반대로 바꾼 거예요.

(1) 허수부분은 2니까 부호를 반대로 바꾼 3 - 2i가 켤레복소수가 되겠네요.

(2) 순허수로 허수부분이 5니까 부호를 반대로 바꾼 -5i가 켤레복소수고요.

(3) 실수도 복소수죠? -3 = -3 + 0i로 -3의 허수수분은 0이에요. 부호를 바꿔도 0i니까 -3의 켤레복소수는 -3이에요.

켤레복소수의 성질

복소수와 그 켤레복소수 사이에는 어떤 성질이 있는지 알아보죠.

z와 켤레복소수 -z bar를 더해볼까요?

z + 켤레복소수 -z bar = (a + bi) + (a - bi) = 2a

z - 켤레복소수 -z bar = (a + bi) - (a - bi) = 2bi

z켤레복소수 -z bar = (a + bi)(a - bi) = a2 - (bi)2 = a2 + b2

z와 켤레복소수 -z bar를 더하거나 곱하면 실수가 된다는 걸 알 수 있어요. 뺐을 때는 2bi만 있어서 순허수처럼 보이지만 b = 0이면 0이 되어 실수가 될 수도 있으니까 주의하세요.

이번에는 하나의 켤레복소수가 아니라 두 개의 켤레복소수의 성질을 알아보죠. z1와 z2라는 두 개의 복소수에서,
z1 = a + bi, z2 = c + di라고 한다면  = a - bi,  = c - di가 되겠죠?

 +  = (a - bi) + (c - di) = (a + c) - (b + d)i 에요.

 = (a + c) - (b + d)i

두 복소수를 더한 다음에 켤레복소수를 구한 것이나 각각의 켤레복소수를 먼저 구하고 더한 것이나 결과가 같죠?

더한 것 외에도 뺀 것, 곱한 것, 나누는 것 모두 위와 같은 성질이 있어요.

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정리해볼까요

켤레복소수

  • 복소수에서 허수수분의 부호를 바대로 바꾼 복소수
    a + bi ↔ a - bi
  • 서로가 서로에게 켤레복소수

켤레복소수의 성질

  • z + 켤레복소수 -z bar → 실수
  • z켤레복소수 -z bar → 실수

켤레복소수의 성질 2

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