집합의 연산법칙 두 번째예요.
여기서는 집합에서 가장 많이 사용하는 드모르간의 법칙과 차집합의 성질을 공부할 거예요. 이 두 가지는 벤다이어그램을 그려서 확인해보세요.
그 외에 집합의 연산에서 자주 사용하는 집합의 성질도 알아볼 건데, 이건 각 집합에서 사용하는 개념을 잘 생각해보면 이해할 수 있을 거예요. 혹시 이해하기 어렵다면 마찬가지로 벤다이어그램을 그려서 확인해볼 수도 있어요.
집합의 연산은 식이 되게 복잡하고 길어 보이지만 연산 법칙과 성질만 잘 알면 풀 수 있어요. 겁먹지 마세요.
드모르간의 법칙
처음 듣는 이름인데요. 집합에서 계속 나오는 법칙이에요. 공식처럼 외워야 합니다.
(A ∪ B)C = AC ∩ BC
여집합 기호 C가 마치 지수법칙처럼 각 집합에 적용되어 AC, BC가 되었고, 괄호 안에 있던 연산이 반대로(∩ → ∪, ∪ → ∩) 바뀌었어요.
집합의 연산에서 매우 중요한 법칙이에요. 꼭 벤다이어그램으로 그려서 직접 확인해보세요.
차집합의 성질
차집합 A - B는 A에는 속하지만 B에는 속하지 않는 원소들의 집합이에요. A - B = {x|x ∈ A이고 x 
이걸 연산에서 교집합과 여집합의 조합으로 바꿀 수 있어요. 벤다이어그램을 그려서 확인해보세요.
A - B = A ∩ BC
차집합에서 앞에 있는 집합은 그대로, 빼기(-) → ∩으로, 뒤에 있는 집합은 여집합(C)으로 바뀌었어요.
B - A는 뭘까요? B는 그대로, 빼기(-)는 ∩으로, A는 여집합(AC)으로 바꿔요. B - A = B ∩ AC
집합의 연산에서 자주 사용하는 집합의 성질
집합의 연산에서 법칙은 아니지만 자주 사용하는 성질들이 있어요. 개수가 많아서 어려울 것처럼 보이지만 의미를 잘 생각해보면 이해가 될 거예요. 아니면 벤다이어그램을 그려서 확인해보세요. 굳이 외울 필요는 없지만 연산 과정에서 보면 이해할 수 있어야 해요.
교집합과 합집합에 관련된 성질이에요. 교집합과 합집합
A ∩ A = A, A ∪ A = A
(A ∩ B) ⊂ A ⊂ (A ∪ B)
A ∩ 
A ∩ U = A, A ∪ U = U
합집합과 교집합에 관련된 성질보다 더 많이 사용하는 건 여집합과 관련된 성질이에요.
A ∩ AC =
(AC)C = A,
여집합은 쉽게 말해서 "아닌 것"이죠? AC는 A에 포함되지 않은 원소들로 이루어진 집합으로 A의 원소를 제외한 다른 원소는 모두 들어있어요. 그래서 A와 AC 사이에는 공통된 게 없으니까 교집합은
이번에는 두 집합 사이의 포함 관계를 알아볼 수 있는 성질이에요.
A ∩ B = A ↔ A ⊂ B
A ∪ B = B ↔ A ⊂ B
A ⊂ B이고, B ⊂ A ↔ A = B
다음을 간단히 하여라. (단, 전체집합 U에 대하여 A ⊂ U, B ⊂ U)
{(AC ∪ BC) ∩ (A ∪ BC)} ∩ A
상당히 길죠? 이걸 벤다이어그램으로 구할 수도 있어요. 하지만 집합의 연산법칙을 이용하면 다항식 계산하듯이 정리할 수 있어요.
{(AC ∪ BC) ∩ (A ∪ BC)} ∩ A
= {(AC ∩ A) ∪ BC)} ∩ A (∵ 분배법칙)
= (
= BC ∩ A (∵
= A ∩ BC (∵ 교환법칙)
= A - B (∵ A ∩ BC = A - B)
첫 번째 줄에 보면 ( ) 안에는 ∪ BC이 양쪽 모두에 들어있어요. 이걸 분배법칙으로 묶어서 2번째 줄이 되었어요. 마지막 줄에서는 차집합의 성질을 이용했네요.
되게 길어서 복잡해 보이지만 성질을 잘 이용하면 풀 수 있어요. 겁먹지 말고 차근차근 해보세요.
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