유한집합은 원소의 개수를 셀 수 있는 집합이에요. 따라서 원소의 개수와 관련된 문제는 당연히 유한집합이에요. 물론 원소의 개수가 0개인 공집합 공집합도 포함되고요.

유한집합의 원소의 개수를 구할 때는 무작정 구하는 게 아니라 그와 관련된 다른 집합의 원소의 개수를 알려줘요. 그러니까 이 글에서는 유한집합의 원소의 개수 사이에는 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요. 이런 관계를 통해서 원소의 개수를 구하는 겁니다.

집합에서 이해를 돕는 가장 좋은 방법은 벤다이어그램을 그리는 방법이니까 각 설명 과정에 나오는 벤다이어그램을 잘 보세요.

유한집합의 원소의 개수

교집합과 합집합의 원소의 개수

집합 A의 원소의 개수는 n(A)라는 기호로 나타내는 거 알고 있죠? 집합의 원소의 개수

두 집합 A, B와 교집합, 합집합의 원소의 개수에 어떤 관계가 있는지 알아보죠.

일단 그림에서 알 수 있는 집합의 원소의 개수를 구해볼까요?
n(A) = x + y
n(B) = y + z
n(A ∩ B) = y
n(A ∪ B) = x + y + z

위에 두 개를 더하고 아래 두 개를 더해보죠.

n(A) + n(B) = n(A ∩ B) + n(A ∪ B) = x + 2y + z

가운데 있는 n(A ∪ B)나 n(A ∩ B)를 이항해보세요.

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B)

두 집합의 원소의 개수와 합집합, 교집합의 원소의 개수와의 관계를 알 수 있겠죠?

이번에는 아래 그림처럼 A, B, C의 세 집합이 있을 때에요.

나머지는 위와 같으니까 넘어가고 n(A ∪ B ∪ C)를 구해보죠. A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C라고 생각할 수 있겠죠? 이렇게 나눠서 해봐요.
n(A ∪ B ∪ C) = n(A ∪ B) + n(C) - n((A ∪ B) ∩ C)
= {n(A) + n(B) - n(A ∩ B)} + n(C) - n((A ∩ C) ∪ (B ∩ C))
= n(A) + n(B) - n(A ∩ B) + n(C) - {n(A ∩ C) + n(B ∩ C) - n((A ∩ C) ∩ (B ∩ C))
= n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)

집합의 연산법칙을 이용해서 집합의 모양을 바꾸고 거기에 위에서 봤던 합집합과 교집합의 원소의 개수를 넣어봤더니 마지막 줄처럼 나왔어요.

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)

세 집합의 합집합의 원소의 개수는 각각의 집합의 원소의 개수를 다 더하고, 두 개씩의 교집합의 원소의 개수를 빼고, 세 개의 교집합의 원소의 개수를 더하는 거예요. 복잡하지만 금방 외울 수 있을 거예요.

여집합과 차집합의 원소의 개수

이번에는 좀 쉬운 거 하죠. 여집합의 원소의 개수에요.

n(AC) = n(U) - n(A)

A - B = A - (A ∩ B) = (A ∪ B) - B로 나타낼 수 있으니까 그 상태 그대로 원소의 개수로 바꿔주면 돼요.

n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B) = n(A ∪ B) - n(B)

하나는 교집합을 하나는 합집합을 이용하는 거니까 차이를 잘 보세요.

n(A) = 10, n(B) = 8, n(A ∪ B) = 15일 때, 다음을 구하여라.
(1) n(A ∩ B)
(2) n(A - B)
(3) n(B - A)

(1)에서 n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B) = 10 + 8 - 15 = 3

(2) n(A - B) = n(A ∪ B) - n(B) = 15 - 8 = 7
다른 방법으로 n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B) = 10 - 3 = 7

(3) n(B - A) = n(A ∪ B) - n(A) = 15 - 10 = 5
다른 방법으로 n(B - A) = n(B) - n(A ∩ B) = 8 - 3 = 5

선영이네 반은 총 30명의 학생이 있다. 이 중에 지난 토요일에 무한도전을 본 학생은 17명, 스타킹을 본 학생은 12명, 둘 다 본 학생은 5명일 때, 둘 중 아무 프로그램도 보지 않은 학생은 몇 명인가?

총 30명이라고 했으니까 n(U) = 30
무한도전을 본 학생을 집합 A라고 하면 n(A) = 17
스타킹을 본 학생을 집합 B라고 하면 n(B) = 12
둘 다 본 학생은 n(A ∩ B) = 5
아무 프로그램도 안 본 학생은 (A ∪ B)C이므로 학생 수는 n((A ∪ B)C) = n(U) - n(A ∪ B)

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) = 17 + 12 - 5 = 24

n((A ∪ B)C) = n(U) - n(A ∪ B) = 30 - 24 = 6(명)

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정리해볼까요

유한집합 원소의 개수

  • n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
    n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B)
  • n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)
  • n(AC) = n(U) - n(A)
  • n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B) = n(A ∪ B) - n(B)
 
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