무리수가 서로 같을 조건

무리수는 제곱근만 있는 경우도 있고, 제곱근과 유리수가 더해진 형태도 있어요. 도 무리수지만 2 + 도 무리수지요.

여러 형태로 되어 있는 무리수 중에서 서로 같은 무리수를 찾는 방법에 대해서 공부해보죠.

무리수가 서로 같을 조건은 복소수가 같을 조건과 비슷하니까 별로 어렵지는 않아요. 복소수를 실수 부분과 허수 부분으로 나눴던 것처럼 무리수를 유리수 부분과 무리수 부분으로 나눠서 생각하면 돼요.

무리수가 서로 같을 조건

a + b(a, b는 유리수)이라는 수가 있다고 해보죠.

b = 0이면 a만 남는데, a + b = a가 돼서 유리수예요. a = 0이면 a + b = 0이 되고요. 반대로 얘기하면 a + b = 0이 되려면 a = 0, b = 0이 되어야 하죠. b ≠ 0이면 제곱근이 남아서 전체적으로는 무리수가 되고요.

a + b = c + d을 볼까요. 제곱근의 덧셈에 따르면 근호 안의 문자나 숫자가 같은 제곱근끼리만 덧셈, 뺄셈을 할 수 있으니까 이항해서 동류항 정리를 하면 아래처럼 돼요.

a + b = c + d
(a - c) + (b - d) = 0

우변이 0이 되려면 a - c = 0이어야 하고, b - d = 0이 되어야 해요. 따라서 a = c, b = d입니다. 유리수 부분은 유리수 부분끼리 같고, 무리수 부분은 무리수 부분끼리 같아야 해요. 복소수가 같을 조건에서도 실수 부분끼리, 허수 부분끼리 같아야 했었죠?

a, b, c, d가 유리수이고, , 이 무리수일 때
a + b = 0 ⇔ a = 0, b = 0
a + b = c + d ⇔ a = c, b = d
a + b = c + d ⇔ a = c, b = d

마지막에는 근호 속의 문자가 같은 것끼리 이항해서 계산해보면 돼요.

제곱근의 덧셈과 뺄셈을 이용해서 증명해봤는데, 항등식의 성질을 이용해도 증명할 수 있어요. 양변이 같다는 건 항등식이니까요. 을 하나의 문자처럼 생각하고 문자의 계수가 같은 것끼리 같으면 양변이 같아요.

x³ + x² - 4x + 8 - 12가 0이 아닌 유리수일 때, 정수 x의 값을 구하여라.

a + b 꼴이 유리수가 되려면 무리수 앞의 숫자 b = 0이어야 해요. 그런데 전체가 0이 아니라고 했으니까 a ≠ 0이 아니어야 하죠. 유리수 부분과 무리수 부분을 따로 인수분해해보죠.

x³ + x² - 4x + 8 - 12
x³ + 8 + (x² - 4x - 12)
= (x + 2)(x² - 2x + 4) + (x - 6)(x + 2)

일단 유리수가 되려면 (x - 6)(x + 2) = 0이어야 하므로 x = -2, 6이에요. 그런데 그냥 유리수가 아니라 0이 아닌 유리수라고 했으니까 (x + 2)(x² - 2x + 4) ≠ 0이어야 해서 x ≠ -2입니다.

따라서 답은 x = 6이네요.

만약에 x³ + 8 + (x² - 4x - 12)가 0이라면 답은 어떻게 바뀔까요? a + b이 0이 되려면 a = 0, b = 0이에요. 따라서 (x - 6)(x + 2) = 0, (x + 2)(x² - 2x + 4) = 0을 만족하는 x = -2가 되어야 하죠.

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정리해볼까요

무리수가 서로 같을 조건

• a, b, c, d가 유리수이고, , 가 무리수 일 때
• a + b = 0 ⇔ a = 0, b = 0
• a + b = c + d ⇔ a = c, b = d
• a + b = c + d ⇔ a = c, b = d

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