인수분해 공식을 이용할 수도 없고, 치환이나 내림차순으로 정리해도 안 되는 식이 있다면 인수분해를 할 수 없을까요?
이런 식들도 인수분해를 할 수 있어요. 바로 인수정리와 조립제법을 이용해서요. 인수정리와 조립제법을 반복해서 사용하면 인수분해가 안 될 것 같았던 식도 인수분해를 할 수 있어요.
인수분해 공식이나 치환을 사용하지 않고 이 방법으로만도 인수분해를 할 수도 있어요. 하지만 인수분해 공식이나 치환 등의 방법보다는 조금 어려운 방법이므로 각 상황에 맞게 방법을 잘 골라서 인수분해를 해야 합니다.
인수정리를 이용한 인수분해
인수정리에 따라 f(α) = 0인 α가 있을 때, f(x)를 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타낼 수 있어요. f(x) = (x - α)Q(x)
그러면 f(x)는 (x - α)와 Q(x)로 인수분해가 된 거죠. 이처럼 인수정리를 이용해서 인수분해를 할 수 있어요.
그런데 인수정리에서는 α를 알려줬어요. 인수분해를 할 때는 α를 알려주지 않으니까 직접 찾아야 해요. 그렇다고 f(α) = 0이 되는 α를 찾기 위해서 모든 수를 다 넣어볼 수는 없잖아요. 여기 α의 범위를 좁히는 방법이 있어요.
f(α) = 0을 만족하는 α를 찾는 방법
- ±1
위 방법을 이용하면 α를 쉽게 찾을 수 있어요. 저기에 해당하는 수가 모두 α가 되는 것은 아니고, 저 숫자 중에 α가 있는 거예요. (인수정리를 이용한 인수분해에서 약수 찾는 법)
x4 - 2x2 + 3x - 2를 인수분해해보죠.
f(x) = x4 - 2x2 + 3x - 2이라고 하고 x = ±1을 넣어보죠.
f(1) = 1 - 2 + 3 - 2 = 0
f(-1) = 1 - 2 - 3 - 2 = -6
다음은 2번 공식으로 α를 찾아볼까요?
f(2) = 16 - 8 + 6 - 2 = 12
f(-2) = 16 - 8 - 6 - 2 = 0
f(1) = f(-2) = 0이네요. 인수정리를 이용해서 f(x) = (x - 1)(x + 2)Q(x)라는 걸 알아냈어요. 이제 Q(x)를 구해야겠죠? Q(x)는 몫에 해당하는 거예요. 다항식의 나눗셈에서 몫을 구하려면 조립제법을 사용하면 돼요. 여기서는 나누는 식이 두 개니까 조립제법을 연속해서 두 번 해야 해요.
f(x)의 삼차항의 계수가 0인 거 빼먹으면 안 돼요.
f(x) = (x - 1)(x + 2)(x2 - x + 1)
위 방법에서는 α 두 개를 한꺼번에 찾았는데, 한 개 찾고, 조립제법, 다른 한 개 찾고 조립제법 … 반복해도 돼요. 이렇게 하다가 2차식이나 3차식이 나오면 인수분해 공식을 이용해서 바로 인수분해하면 돼요.
인수정리를 이용한 인수분해
- f(α) = 0이 되는 α를 찾는다.
- ±1
- ①에서 찾은 α를 이용하여 조립제법 반복
- 2차식, 3차식이 나오면 인수분해 공식으로 인수분해
다음을 인수분해하여라.
(1) x4 + x3 - 3x2 - x + 2
(2) x4 - 4x3 + 6x2 - 5x + 2
(1)번에서 f(x) = x4 + x3 - 3x2 - x + 2이라고 하면
f(1) = 1 + 1 - 3 - 1 + 2 = 0
f(-1) = 1 - 1 - 3 + 1 + 2 = 0
f(α) = 0이 되는 α = 1, -1로 두 개나 찾았네요. 그러면 굳이 α 찾는 공식을 적용할 필요가 없어요. 그냥 넘어가죠.
1과 -1을 이용해서 조립제법을 해보죠.
f(x) = x4 + x3 - 3x2 - x + 2
= (x - 1)(x + 1)(x2 + x - 2)
= (x - 1)(x + 1)(x - 1)(x + 2)
= (x - 1)2(x + 1)(x + 2)
뒤에 이차식이 인수분해가 되죠? 그래서 인수분해했어요. f(x) = (x - 1)2(x + 1)(x + 2)가 답이에요.
(2)번 f(x) = x4 - 4x3 + 6x2 - 5x + 2
f(1) = 1 - 4 + 6 - 5 + 2 = 0
f(-1) = 1 + 4 + 6 + 5 + 2 = 18
f(2) = 16 - 32 + 24 - 10 + 2 = 0
f(-2) = 16 + 32 + 24 + 10 + 2 = 84
f(α) = 0 이 되는 α = 1, 2네요. 조립제법을 해보죠.
f(x) = x4 - 4x3 + 6x2 - 5x + 2
= (x - 1)(x - 2)(x2 - x + 1)
뒤에 이차식은 인수분해가 안 되니까 f(x) = (x - 1)(x - 2)(x2 - x + 1)가 답이네요.
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