인수정리를 이용한 인수분해에서 인수정리에 사용할 α를 찾는 방벙 중 2번째 방법에 대해서 설명하는 글이에요.
α를 찾을 때 $\pm\frac{상수항의 \quad약수}{최고차항 \quad계수의\quad 약수}$ 중 하나라고 했는데 그 이유는 어렵지 않아요.
먼저, 간단한 거 하나만 보죠.
3 × 4 = 12라는 식에서 3, 4가 12의 약수라는 걸 알 수 있어요. 이때, 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12인데 저 식에서는 나머지 약수는 알 수 없고 3, 4만 알 수 있죠.
다시 방정식으로 돌아와서, 최고차항이 a (a ≠ 0)이고, 세 근이 α, β, γ인 3차방정식이 있다고 해보죠.
ax3 + bx2 + cx + d = 0
a(x - α)(x - β)(x - γ) = 0
a{x3 - (α + β + γ)x2 + (αβ + βγ + γα)x - αβγ} = 0
ax3 - a(α + β + γ)x2 + a(αβ + βγ + γα)x - aαβγ = 0
삼차방정식 근과 계수와의 관계에 따르면 αβγ = -$\frac{d}{a}$예요.
세근의 곱 = $\frac{상수항}{최고차항의\quad계수}$이죠. 앞의 부호는 신경쓰지 말고요.
3 × 4 = 12 → 3, 4는 12의 약수.
αβγ = $\frac{상수항}{최고차항의\quad계수}$ → α, β, γ는 $\frac{상수항}{최고차항의\quad계수}$의 약수
12의 약수 1, 2, 3, 4, 6, 12 중에 3, 4가 있죠? 마찬가지로 $\frac{상수항}{최고차항의\quad계수}$의 약수도 많이 있을텐데 그 중에 α, β, γ가 있어요. 우리는 α, β, γ만 필요하니까 어떤 것이 α, β, γ인지 찾아야 해요.
그 방법은 $\pm\frac{상수항의 \quad약수}{최고차항 \quad계수의\quad 약수}$로 찾은 약수를 하나씩 대입해서 방정식이 성립하는지 보는 거예요. 식이 성립하면 α, β, γ중 하나고, 성립하지 않으면 α, β, γ가 아닌 다른 약수죠,
방정식의 해는 정수, 유리수, 무리수까지 있지만 우리는 계산을 쉽게 하려고 정수 약수만 찾을 거니까 여러 후보 중에서 정수만 먼저 대입해서 찾아요.
근을 모두 찾을 필요는 없고, 정수인 근 1, 2개만 찾아요. 정수가 아닌 근이 있다면 찾기가 어려울 수 있으니까요.
나머지는 조립제법을 이용하거나 인수분해 공식을 이용해서 인수분해를 하면 자연히 알게 돼요.
이건 3차방정식 뿐 아니라 4차, 5차 등 다른 방정식에서도 똑같아요. 어차피 방정식의 상수항은 근의 곱으로 된 항이니까요. 부호는 생각하지 말고요. 어차피 약수를 구할 때 앞에 $\pm$이 있으니까 부호는 상관없죠.