다항식의 나눗셈은 계산하기 정말 복잡하죠? 귀찮기도 하고요.

그래서 하기 싫은 다항식의 나눗셈을 좀 더 쉽게 하는 방법을 알려드립니다. 그게 바로 조립제법이에요. 조립제법은 다항식의 나눗셈에서 계수들의 규칙을 찾아서 만든 방법인데, 원리는 교과서에 설명되어 있을 거예요. 이 글에서는 원리보다는 조립제법을 실제로 하는 방법에 대해서 얘기할게요.

조립제법을 이용하면 다항식의 나눗셈을 할 필요없이 몫과 나머지를 구할 수 있어요. 물론 나머지만 구하려면 나머지정리를 이용하면 더 쉽고요.

조립제법은 나중에 공부할 인수분해에서도 아주 유용하게 쓰이니까 꼭 할 줄 알아야 해요.

조립제법

다항식의 나눗셈은 최고차항과 계수를 비교해서 한 단계씩 풀어나갔었죠? 조립제법에서는 계수만 가지고 해요. 차수는 생각하지 않아도 되죠.

조립제법을 할 때는 가장 먼저 식을 내림차순으로 정리하는 거예요. f(x)와 나누는 식을 둘 다요.

x2 + 3x - 4를 x - 1로 나누는 걸 조립제법으로 해보죠.

조립제법

  1. ㄴ자 모양으로 선을 그어요. 그리고 왼쪽 위에는 나누는 식 = 0이 되게 하는 x를 적으세요. 이 경우에는 x = 1이네요. 왼쪽에는 내림차순으로 정리한 f(x)의 계수들을 순서대로 적어요.
  2. 가장 왼쪽에 있는 계수 1은 그냥 바로 아래로 내려서 적으세요.
  3. ②에서 내린 1과 왼쪽에 있는 1을 곱한 1을 오른쪽 위에 적어요.
  4. 두 번째 있는 3과 바로 아래에 있는 1을 더한 4를 그 아래에 적어요.
  5. ④에서 구한 4와 왼쪽에 있는 1을 곱한 4를 오른쪽 위에 적어요.
  6. 세 번째에 있는 -4와 바로 아래 있는 4를 더한 0을 그 아래에 적고 ㄴ을 한 번 더 그려주세요.

ㄴ의 아래에 있는 숫자들이 몫과 나머지인데요. 가장 오른쪽에 있는 숫자가 나머지이고, 그 외의 부분이 몫이에요. 몫은 오른쪽부터 상수항, x의 계수, x2의 계수, x3의 계수예요. 위 계산에서는 x의 계수까지밖에 없네요.

결론은 x2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4) + 0 라는 거지요.

보기에서는 항의 개수가 몇 개 없어서 그런데, 항의 개수가 많다고 하더라도 오른쪽 옆으로 한 칸씩 옮겨가면서 ③, ④를 반복하면 돼요.

다항식의 나눗셈에서는 바로 위에 있는 식과 아래에 있는 식을 빼서 계산했어요. 그런데 조립제법에서는 위, 아래에 있는 계수를 더합니다. 이거 조심하세요.

주의해야 할 게 하나 더 있는데, 빈자리는 0으로 채워야 해요. f(x) = x3 - x + 1을 나누는 조립제법을 할 때는 f(x)의 계수가 3개라서 ①단계에 1   -1   1의 세 숫자만 쓰는 경우가 있는데, 그러면 안 돼요. f(x)에 x2이 없죠? 이때는 x2의 계수가 0이기 때문이에요. 따라서 ㄴ에 f(x)의 계수를 쓸 때, 1  0  -1  1의 네 숫자를 써야 해요. x3 + x2 - x의 경우에는 1  1  -1이 아니라 상수항이 0이니까 1  1  -1  0을 써줘야 하고요. 계수의 개수는 최고차항의 차수보다 1개 많아요.

다음을 조립제법을 이용하여 몫과 나머지를 구하여라.
(1) (2x3 + 3x2 - x - 2) ÷ (x + 1)
(2) (x3 - 2x + 5) ÷ (x + 2)

(1)번은 나누는 식 = 0이 되게 하는 x = -1이고, f(x) = 2x3 + 3x2 - x - 2로 계수만 적으면 2   3   -1   -2에요.

가장 앞에 있는 최고차항의 계수는 그냥 바로 아래로 내리고, -1과 곱해서 위로 올리고, 다음 계수와 더하고 …  이 과정을 계속하면 아래 그림처럼 조립제법을 할 수 있어요.

조립제법 예제 1 풀이

가장 오른쪽에 있는 숫자 0이 나머지이고, 그 외 3숫자는 몫인데, 오른쪽부터 상수항, x 계수, x2 계수이므로 몫은 2x2 + x - 2에요.

몫: 2x2 + x - 2, 나머지: 0
나머지가 0이니까 23 + 3x2 - x - 2는 x + 1로 나누어떨어지네요.

(2)번은 나누는 식 = 0이 되는 x = -2, f(x) = x3 - 2x + 5인데, 조심해야 하는 게 x2이 없지요? 계수가 0이에요. 따라서 적을 때는 1   0   -2   5를 적어야 해요.

조립제법 예제 2 풀이

몫: x2 - 2x + 2, 나머지: 1

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정리해볼까요

조립제법

  • 다항식의 나눗셈을 계수를 이용하여 빠르고 편하게 몫과 나머지를 구하는 방법
  • ㄴ를 그리고 왼쪽 위에는 나누는 식 = 0이 되게하는 x를 적고, 오른쪽에는 f(x)의 계수들을 순서대로 적는다. 계수들의 합과 곱을 이용
  • 항이 없는 경우 계수가 0이므로 꼭 포함
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