그냥 부등식이라고만 되어 있다면 이 부등식의 계수가 0일 수도 있고, 아닐 수도 있어요. 그래서 일반적인 부등식의 풀이 방법으로는 풀면 안 돼요. 우리가 공부한 부등식은 일차부등식이었으니까요.

여기서 공부할 부등식 ax > b의 풀이에는 일차부등식일 때와 일차부등식이 아닐 때의 풀이를 모두 함께 적용해야 해서 아주 까다롭죠. 하지만 방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정, 불능에서 했던 것과 비슷하니까 아주 생소한 내용은 아니에요. 여기에서도 부정불능이라는 용어도 그대로 사용해요. 두 가지를 비교하면서 공부하는 것도 좋을 것 같군요.

부등식 ax > b의 풀이

부등식의 해를 구할 때 양변을 미지수의 계수로 나누죠? 그런데 부등식 ax > b에서는 a = 0일 수도 있고 a ≠ 0일 수도 있어요. a ≠ 0이면 알고 있던 대로 양변을 a로 나눠서 풀면 되는데, a = 0이면 양변을 a로 나눠서 계산하면 안 돼요. 그래서 a = 0일 때와 a ≠ 0일 때를 나눠서 구해야 해요

a ≠ 0일 때

ax > 0에서 a ≠ 0이면 그냥 일차부등식이므로 일차부등식의 풀이에 따라 양변을 a로 나눠서 해를 구하면 돼요. 부등식의 성질에서 부등식의 양변을 어떤 수로 나눌 때 양수인지 음수인지에 따라 부등호의 방향이 바뀐다고 했어요. 그래서 a > 0, a < 0일 때 두 가지 경우를 모두 구해야 하죠.

  • a > 0이면
    ax > b
    x > b/a
  • a < 0이면
    ax > b
    x < b/a

a = 0일 때

a = 0이면 양변을 a로 나눌 수 없어요. 이때는 방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정, 불능에서 했던 것처럼 b의 부호를 따져서 구해요. 다만 부등식이니까 b > 0, b = 0, b < 0일 때로 나눠요.

  • b > 0일 때
    ax > b
    0x > b
    좌변 ax = 0인데, 우변 b > 0이므로 우변이 더 커요. 그런데 좌변이 더 크다고 되어 있으므로 만족하는 해가 없죠. (불능)
  • b = 0일 때
    ax > b
    0x > b
    좌변 ax = 0인데, 우변 b = 0이므로 양변이 같아요. 그런데 좌변이 더 크다고 되어 있으므로 만족하는 해가 없어요. (불능)
  • b < 0일 때
    ax > b
    0x > b
    좌변 ax = 0이고, 우변 b < 0이므로 x와 상관없이 좌변이 더 커요. 따라서 해는 모든 실수(부정)

b > 0일 때와 b = 0일 때가 해가 모두 불능으로 같네요.

부등식 ax > b의 풀이

x에 대한 부등식 ax + 9 < a2 + 3x를 풀어라.

먼저 Ax > B의 꼴로 정리한 다음에 A ≠ 0일 때(A > 0, A < 0)와 A = 0일 때(B > 0, B = 0, B < 0)를 나누어 구해야 해요.

ax + 9 < a2 + 3x
(a - 3)x < a2 - 9
(a - 3)x < (a + 3)(a - 3)

  1. a - 3 ≠ 0일 때 → a ≠ 3일 때
    • a - 3 > 0이면 a > 3
      (a - 3)x < (a + 3)(a - 3)
      x < a + 3
    • a - 3 < 0이면 a < 3
      (a - 3)x < (a + 3)(a - 3)
      x > a + 3
  2. a - 3 = 0일 때 → a = 3일 때
    a = 3이면 우변 (a + 3)(a - 3) = 0으로 양수, 음수일 때는 해보지 않아도 되네요.
    (a - 3)x < (a + 3)(a - 3)
    0x < 0
    해가 없다.(불능)

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방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정, 불능
부등식의 성질, 부등식끼리의 사칙연산

정리해볼까요

부등식 ax > b의 풀이

  1. a ≠ 0일 때
    • a > 0이면 x > b/a
    • a < 0이면 x < b/a
  2. a = 0일 때
    • b > 0이면 불능
    • b = 0이면 불능
    • b < 0이면 부정
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