일차방정식을 공부하고 나면 이차방정식을 공부했어요. 일차함수를 공부하고 나면 이차함수를 공부했고요. 일차부등식을 공부했지요? 그러니까 이제는 이차부등식을 공부할 차례예요.

이차부등식의 풀이는 일차부등식의 풀이와 많이 달라요. 오히려 이차방정식과 관련된 내용이 많이 나옵니다. 이차방정식에서 등호만 부등호로 바뀐 게 이차부등식이니까요. 앞서 공부했던 이차방정식의 여러 가지 특징을 잘 기억하세요.

이차부등식이 무엇인지 이차부등식의 해는 어떻게 구하는지 알아보죠.

이차부등식, 이차부등식의 해

모든 항을 좌변으로 이항했을 때 좌변의 최고차항이 이차인 부등식을 이차부등식이라고 해요. ax2 + bx + c > 0으로 표시하죠. 이때 이차부등식이 되려면 a ≠ 0이어야 해요. 물론 부등호는 >, ≥ < ≤ 총 네 가지가 있고요.

이차방정식의 해를 구할 때 인수분해를 했었죠? 이차부등식의 해를 구할 때도 인수분해를 합니다.

  1. 모든 항을 좌변으로 이항
  2. 동류항 정리
  3. 인수분해

일단 먼저 인수분해를 하세요. 다음 단계는 조금 복잡하니까 잘 보시고요.

이차부등식의 해 - (x - α)(x - β) > 0

이차항의 계수가 1이고 (x - α)(x - β) > 0 (α < β)으로 인수분해되는 이차부등식이 있다고 해보죠. (x - α)와 (x - β)라는 두 식을 곱해서 양수가 되려면 두 식이 모두 양수이거나 모두 음수여야 해요.

  • 둘 다 양수일 때, x - α > 0 and x - β > 0
    • x - α > 0
      x > α
    • x - β > 0
      x > β
    α < β 이므로 x > β
  • 둘 다 음수일 때, x - α < 0 and x - β < 0
    • x - α < 0
      x < α
    • x - β < 0
      x < β
    α < β 이므로 x < α

α < β일 때,
(x - α)(x - β) > 0 → x < α or x > β
(x - α)(x - β) ≥ 0 → x ≤ α or x ≥ β

이차식이 0보다 클 때는 이차식을 0으로 만드는 두 수(α, β) 중 작은 수(α)보다 작거나 큰 수(β)보다 큰 해를 갖는 걸 알 수 있어요.

이차부등식의 해 - (x - α)(x - β) < 0

이번에는 이차항의 계수가 1이고 (x - α)(x - β) < 0 (α < β)으로 인수분해되는 이차부등식이 있다고 해보죠. 두 식을 곱해서 음수가 되려면 두 식의 부호가 서로 반대여야 하죠.

  • x - α > 0 and x - β < 0 일 때
    • x - α > 0
      x > α
    • x - β < 0
      x < β
    α < β 이므로 α < x < β
  • x - α < 0 and x - β > 0 일 때
    • x - α < 0
      x < α
    • x - β > 0
      x > β
    α < β이므로 해 없음.

α < β일 때,
(x - α)(x - β) < 0 → α < x < β
(x - α)(x - β) ≤ 0 → α ≤ x ≤ β

이차식이 0보다 작을 때는 이차식을 0으로 만드는 두 수(α, β) 중 작은 수(α)와 큰 수(β) 사이의 해를 갖는 걸 알 수 있어요.

이차항의 계수가 1일 때를 살펴봤는데요. 1이 아닐 때는 인수분해에만 영향을 미치지 해를 구하는 과정은 위와 똑같아요.

다음 이차부등식의 해를 구하여라.
(1) x2 - 3x + 2 < 0
(2) 2x2 + 6x - 20 ≥ 0

이차부등식의 해를 구하려면 일단 인수분해를 하죠. 그리고 각 항을 0으로 만드는 두 수를 구하고요.

(1) x2 - 3x + 2 < 0
(x - 1)(x - 2) < 0

이차식이 0보다 작으니까 좌변을 0으로 만드는 두 수에서 작은 것과 큰 것 사이의 해를 가져요. 이차식을 0이 되게 하는 수는 1과 2이므로 해는 1 < x < 2가 됩니다.

(2) 2x2 + 6x - 20 ≥ 0
2(x2 + 3x - 10) ≥ 0
2(x - 2)(x + 5) ≥ 0

앞에 있는 2는 양수라서 식의 부호에 영향을 미치지 않죠? 이차식이 0이 되는 수는 2, -5이고 이차식이 0보다 크네요. 이때는 작은 수보다 작고, 큰 수보다 큰 해를 가지므로 x ≤ -5 또는 x ≥ 2가 해입니다.

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정리해볼까요

이차부등식: 모든 항을 좌변으로 이항했을 때 최고차항의 차수가 2차인 부등식

  1. 모든 항을 좌변으로 이항
  2. 동류항 정리
  3. 인수분해
  4. α < β일 때,
    (x - α)(x - β) > 0 → x < α or x > β
    (x - α)(x - β) < 0 → α < x < β
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