이차부등식의 풀이, 판별식과 이차부등식의 해

이차부등식의 해를 구할 때 판별식을 보면 해를 구할 수 있어요. 물론 해를 바로 구할 수 있는 경우도 있고, 아닌 경우도 있지만 판별식을 보면 대충 감이 오죠.

판별식은 이차방정식의 판별식, 실근, 허근에서 근의 개수와 종류를 알아보기 위해서 사용했던 식으로 여기서도 똑같이 D = b² - 4ac에요.

이차부등식에서 사용하는 부등호는 >, ≥, <, ≤ 네 가지이므로 이 네 부등호를 가진 이차부등식의 해와 판별식 D 사이의 관계를 알아보죠.

이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a > 0) 에서 좌변만 보죠. D > 0이면 두 근을 가져요. 이 근을 α, β (α < β)라고 하면, a(x - α)(x - β)로 인수분해가 돼요.

ax² + bx + c = 0
a(x - α)(x - β) = 0

이차방정식에서 양변은 그대로 두고, 등호만 부등호로 바꿔보죠.

ax² + bx + c > 0
a(x - α)(x - β) > 0

이차부등식, 이차부등식의 해에서 봤던 꼴이죠? 이때는 해가 어떻게 된다고 했나요?

a(x - α)(x - β) > 0 → x < α or x > β
a(x - α)(x - β) ≥ 0 → x ≤ α or x ≥ β
a(x - α)(x - β) < 0 → α < x < β
a(x - α)(x - β) ≤ 0 → α ≤ x ≤ β

이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a > 0) 에서 판별식 D = 0이면 완전제곱식이 되고, 중근을 가져요. 이때의 해를 α라고 해보죠.

ax² + bx + c = 0
a(x - α)² = 0

이번에도 양변은 그대로 두고, 등호만 부등호로 바꿔보죠.

ax² + bx + c > 0
a(x - α)² > 0

어떤 실수의 제곱은 0보다 크거나 같아요. x = α이면 좌변은 0이 돼서 부등식이 성립하지 않아요. x ≠ α일 때는 부등식이 성립하죠. 따라서 이때의 해는 x ≠ α인 모든 실수가 되겠죠?

ax² + bx + c ≥ 0
a(x - α)² ≥ 0

위 식에서는 x = α면 좌변이 0이 되고, 부등식이 성립해요. 물론 x ≠ α일 때도 성립하죠. 따라서 해는 모든 실수가 됩니다.

ax² + bx + c < 0
a(x - α)² < 0

좌변은 실수의 제곱과 양수 a의 곱이므로 0보다 크거나 같아요. 따라서 해는 없어요.

ax² + bx + c ≤ 0
a(x - α)² ≤ 0

위 식에서는 x = α면 좌변이 0이 되고, 부등식이 성립해요. 그 외에는 성립하지 않죠. 따라서 해는 x = α에요.

D < 0이면 일반적인 방법으로는 인수분해가 되지 않아요. 그래서 조금 다른 방법으로 해를 구해야 해요.

중학교 때 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이에서 주어진 식을 완전제곱식으로 변형하는 걸 해봤어요. 이걸 이용해보죠.

정리해보면, 예요.

앞에 있는 항은 제곱이니까 이고, D < 0이므로 에요. 따라서 이차식 ax² + bx + c (a > 0)은 모든 x에 대하여 항상 양수예요.

ax² + bx + c > 0과 ax² + bx + c ≥ 0은 항상 성립하므로 해는 모든 실수이고, ax² + bx + c < 0과 ax² + bx + c ≤ 0은 해가 없지요.

설명이 길었는데, 정리해보면 아래 표로 간단히 나타낼 수 있어요.

다음 부등식의 해를 구하여라.
(1) x² - 4x + 4 > 0
(2) x² - 4x + 4 ≤ 0

(1) 좌변을 인수분해 해보죠.
x² - 4x + 4 > 0
(x - 2)² > 0

좌변이 완전제곱식으로 인수분해가 됐으니 D = 0이네요. 판별식을 따로 구해보지 않아도 알 수 있죠? 이때는 x = 2이면 좌변이 0이 되어서 성립하지 않지만 x ≠ 2이면 부등식이 성립하죠? 따라서 해는 x ≠ 2인 모든 실수가 됩니다.

(2) x² - 4x + 4 ≤ 0
(x - 2)² ≤ 0

x = 2일 때는 좌변이 0이므로 식이 성립하지만, 그 외에는 좌변 > 0이므로 식이 성립하지 않아요. 따라서 해는 x = 2네요.

정리해볼까요