이차방정식의 근은 인수분해를 하거나 근의 공식을 이용해서 구할 수 있어요. 근의 공식을 이용해서 구한 근이 실수인지 허수인지에 따라서 부르는 이름이 달라져요. 실근허근이라는 표현을 언제 사용하는지 알아보죠.

이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a, b, c는 상수 a ≠ 0)에서 b2 - 4ac를 이차방정식의 판별식이라고 하고 D라고 써요. 이차방정식의 판별식을 이용해서 근의 개수를 알 수 있었죠.

이 글에서는 이차방정식의 판별식을 이용해서 근의 개수뿐 아니라 근의 종류를 알아볼 거예요. D > 0, D = 0일 때는 이차방정식 근의 개수, 판별식 이용과 똑같으니까 D < 0일 때를 주목해서 보세요.

이차방정식의 실근, 중근, 허근

이차방정식 x2 + 3x + 2 = 0의 해를 구해보죠.

x2 + 3x + 2 = 0
(x + 1)(x + 2) = 0
x = -1 or -2

두 개의 근을 구했어요. 두 수는 모두 실수죠? 실수인 근이니까 실근이라고 해요.

x2 + 4x + 4 = 0
(x + 2)2 = 0
x = -2

완전제곱식일 때는 근이 두 개인데, 두 개가 같아서 중근이라고 하지요?

이번에는 이차방정식 x2 + x + 1 = 0의 두 근을 구해보죠. 인수분해가 안 되니까 근의 공식으로 해를 구해야 해요.

ax2 + bx + c = 0 (a, b, c는 상수, a ≠ 0)
근의 공식

허근

근호 안이 -3이어서 허수단위 i를 이용해서 표현해봤어요. 근이 허수에요. 허수인 근이니까 허근이라고 합니다.

이차방정식의 판별식

중3 때, 이차방정식 근의 개수, 판별식 이용에서 판별식을 이용해서 근의 개수를 구할 수 있었어요.

ax2 + bx + c = 0 (a, b, c는 상수, a ≠ 0)의 판별식
D = b2 - 4ac

판별식 D > 0이면 두 개의 근, D = 0이면 중근, D < 0이면 근이 없다고 했지요.

이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a, b, c는 상수 a ≠ 0)의 근은 근의 공식에요.

전에는 실수 체계에 대해서만 알고 있어서 D < 0이 되면 제곱근 안이 음수가 되기 때문에 D < 0일 때는 근이 없다고 공부했던 거예요. 복소수 체계에서는 제곱근 안이 0보다 작은 걸 허수라고 하죠. 따라서 D < 0일 때는 허수가 근이라는 걸 알 수 있어요.

D < 0이면 서로 다른 두 허근 의 두 근을 갖는데, 제곱근 안이 0보다 작은 허근이지요. 분자의 가운데가 하나는 (+), 다른 하나는 (-)로 두 허근은 서로 달라요.

D > 0일 때는 두 개의 근을 갖는데, 이들은 모두 실수에요. 제곱근 안이 양수로 무리수니까요. D = 0일 때는 중근을 갖는데 이것 역시 실수죠.

이처럼 판별식 D를 이용해서 근의 개수와 근의 종류를 알 수 있어요.

이차방정식의 판별식과 근
판별식 근의 개수
b2 - 4ac > 0 서로 다른 두 실근
b2 - 4ac = 0 서로 같은 두 실근(중근)
b2 - 4ac < 0 서로 다른 두 허근

문제를 풀 때, 실근인지 허근인지 두 근이 서로 같은지 다른지를 잘 구별해야 해요.

복소수 단원을 제외한 문제에서 특별한 언급이 없으면 답을 실수범위에서만 구했는데, 방정식에서는 특별한 언급이 없는 한 허근까지도 구해야 합니다.

x2 + 3x - 4 + k = 0가 실근을 가질 때, k 값의 범위를 구하여라.

실근을 갖는다는 얘기는 D > 0이어서 서로 다른 두 실근을 가질 수도 있지만, D = 0으로 중근을 가질 수도 있어요. 따라서 D ≥ 0이어야 해요.

b2 - 4ac ≥ 0
32 - 4 × 1 × (-4 + k) ≥ 0
9 + 16 - 4k ≥ 0
4k ≤ 25
이차방정식의 판별식 예제 풀이

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정리해볼까요

ax2 + bx + c = 0 (a, b, c 는 상수 a ≠ 0)의 판별식 D = b2 - 4ac

  • b2 - 4ac > 0        서로 다른 두 실근
  • b2 - 4ac = 0        서로 같은 두 실근(중근)
  • b2 - 4ac < 0        서로 다른 두 허근
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