수학에서 사용하는 가장 기초적인 부분이 바로 숫자에요. 이 글에서는 숫자의 체계에 대해서 한 번 더 정리합니다. 이미 알고 있는 거니까 간단하게 보고 넘어가죠.
연산에 대해서 닫혀있다는 용어에 대해서 공부할 거예요. 사실 아주 중요한 내용은 아닌데요, 다음에 공부할 항등원과 역원의 전제조건이 되는 내용이기 때문에 이해는 하고 있어야 해요.
복잡하지는 않으니까 가볍게 읽는다는 생각으로 공부하세요.
실수 체계, 실수의 분류
실수 체계는 [중등수학/중3 수학] - 무리수와 실수, 실수체계에서 공부한 적이 있어요. 한 번 정리해보죠.
이 두 그림이면 실수체계에 대해서는 완전히 설명할 수 있으니까 잘 익혀두세요. 앞으로 실수 범위를 넘어선 수의 체계를 공부할 건데 그것과 헷갈리면 안 되니까요.
문제에서 수에 대해서 아무런 언급이 없다면 실수 범위의 수를 사용한다고 생각하세요.
연산에 대하여 닫혀있다
공집합이 아닌 어떤 집합 S에서 임의의 원소 2개를 뽑아서 어떤 연산을 한 결과가 항상 집합 S의 원소일 때, 집합 S는 그 연산에 대해서 닫혀있다고 합니다.
예를 들면 자연수의 집합에서 임의의 두 수를 뽑아서 더하면 그 결과인 수는 다시 자연수 집합의 원소가 되잖아요. 이때, 자연수 집합은 덧셈에 대하여 닫혀있다고 하는 거지요.
임의의 원소 2개는 같을 수도 있고 다를 수도 있어요. 그리고 최소한 1개의 원소를 선택해야 하니까 원소가 하나도 없는 공집합은 제외합니다. 닫혀있다의 반대는 "열려있다"가 아니라 "닫혀있지 않다."에요.
아래 표는 수의 체계와 사칙연산에 대하여 닫혀있는지를 나타내는 표에요. 이 표를 잘 이해하세요. 객관식 문제로 자주 나옵니다. 나눗셈에서 0으로 나누는 건 제외해요.
| 자연수 | 정수 | 무리수 | 유리수 | 실수 | |
|---|---|---|---|---|---|
| + | ○ | ○ | X | ○ | ○ |
| - | X | ○ | X | ○ | ○ |
| × | ○ | ○ | X | ○ | ○ |
| ÷ | X | X | X | ○ | ○ |
어떤 수 집합이 닫혀있지 않다는 것을 증명하려면 명제의 참, 거짓에서 사용했던 것처럼 반례를 하나만 찾으면 돼요.
자연수에서 1 - 2 = -1로 결과가 자연수가 아니에요. 따라서 자연수는 뺄셈에 대해서 닫혀있지 않죠. 마찬가지로 1 ÷ 2 = ½로 자연수가 아니어서 나눗셈에 대해서도 닫혀있지 않아요. 덧셈과 곱셈에 대해서는 닫혀있어요.
정수는 1 ÷ 2 = ½로 정수가 아니라서 정수는 나눗셈에 대해서 닫혀있지 않아요. 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대해서는 닫혀있어요.
무리수는 사칙연산 모두에 대하여 닫혀있지 않아요. 
유리수와 실수는 어떤 수를 사용해도 사칙연산한 결과가 유리수, 실수가 나와요. 따라서 유리수와 실수는 사칙연산에 대해서 닫혀있어요.
집합 S = {-1, 0, 1}일 때, 사칙연산 중 어느 연산에 대하여 닫혀있는가? (단, 0으로 나누는 것은 제외)
연산에 대하여 닫혀있으려면 집합의 임의의 원소 두 개를 선택해서 연산한 결과가 다시 집합의 원소여야 돼요.
원소가 몇 개 안 되니까 직접 연산을 해서 결과를 찾아보죠.
| + | -1 | 0 | 1 |
| -1 | -2 | -1 | 0 |
| 0 | -1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 2 |
| - | -1 | 0 | 1 |
| -1 | 0 | -1 | -2 |
| 0 | 1 | 0 | -1 |
| 1 | 2 | 1 | 0 |
| × | -1 | 0 | 1 |
| -1 | 1 | 0 | -1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | -1 | 0 | 1 |
| ÷ | -1 | 0 | 1 |
| -1 | 1 | X | -1 |
| 0 | 0 | X | 0 |
| 1 | -1 | X | 1 |
덧셈과 뺄셈의 연산 결과에서는 집합 S의 원소가 아닌 -2, 2가 있어서 집합 S는 덧셈과 뺄셈에 대해서는 닫혀있지 않네요. 곱셈과 나눗셈은 연산 결과가 모두 집합 S = {-1, 0, 1}에 포함되어 있어요. 따라서 집합 S는 곱셈과 나눗셈에 대하여 닫혀있어요.
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